1. sumk=1^+infty(-32)^k+1

Passo 1

O enunciado pede para somar a série infinita sumk=1^+inftyl(-tfrac32r)^k+1. O conteúdo é séries geométricas infinitas e vamos precisar do critério de convergência para séries geométricas.

Passo 2

Identificamos que a série é geométrica com primeiro termo quando k=1:
a1=l(-tfrac32r)^2=tfrac94,
e razão
r=-tfrac32

Passo 3

Para uma série geométrica infinita convergir, precisamos ter |r|<1. Aqui temos:
|r|=l| -tfrac32r|=tfrac32>1
Como o módulo da razão é maior que 1, a série não satisfaz o critério de convergência.

Passo 4

Logo, a série diverge e não possui soma finita.

Resposta

A série diverge e não existe soma finita.

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