Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f(x, y)=raizx^2+y^2 no ponto P(0,2,2). Em seguida, determine o vetor normal ao gráfico de f no ponto P(0,2,2). Desenhe.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto . Além disso, precisamos encontrar o vetor normal a esse gráfico no mesmo ponto. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e a equação do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais da função f(x, y) = raizx^2 + y^2 em relação a fx = partial fpartial x = xraizx^2 + y^2 e fy = partial fpartial y = yraizx^2 + y^2 . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando variamos uma das variáveis mantendo a outra constante.
A função dada é:
Vamos derivar em relação a e :

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto fx(0, 2) = 0raiz0^2 + 2^2 = 02 = 0 . Substituímos fy(0, 2) = 2raiz0^2 + 2^2 = 22 = 1 e nas expressões das derivadas:

Passo 4

Com as derivadas parciais calculadas no ponto z - z0 = fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0) , podemos usar a fórmula da equação do plano tangente. A equação do plano tangente a uma função z - 2 = 0 cdot (x - 0) + 1 cdot (y - 2) no ponto z - 2 = y - 2 é dada por:
z = y
Substituindo os valores que temos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos determinar o vetor normal ao gráfico no ponto n = ( fx(x0, y0), fy(x0, y0), -1 ) . O vetor normal é perpendicular ao plano tangente e é dado pelas derivadas parciais da função. Portanto, o vetor normal n = (0, 1, -1) é:
Substituindo os valores calculados:

Resposta

A equação do plano tangente ao gráfico de z = y no ponto n = (0, 1, -1) é:
O vetor normal ao gráfico no ponto é:

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