Determine a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
. Em seguida, determine o vetor normal ao gráfico de
no ponto
. Desenhe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a equação do plano tangente ao gráfico da função
no ponto
. Além disso, precisamos encontrar o vetor normal a esse gráfico no mesmo ponto. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e a equação do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais da função
em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando variamos uma das variáveis mantendo a outra constante.
A função dada é:
Vamos derivar em relação a
e
:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto
. Substituímos
e
nas expressões das derivadas:
Passo 4
Com as derivadas parciais calculadas no ponto
, podemos usar a fórmula da equação do plano tangente. A equação do plano tangente a uma função
no ponto
é dada por:
Substituindo os valores que temos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos determinar o vetor normal ao gráfico no ponto
. O vetor normal é perpendicular ao plano tangente e é dado pelas derivadas parciais da função. Portanto, o vetor normal
é:
Substituindo os valores calculados:
Resposta
A equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
é:
O vetor normal ao gráfico no ponto
é: