a) Em cada parte, use a informação da tabela para determinar se o sistema
é possível. Se for, determine o número de variáveis livres da solução geral. Justifique sua resposta.
Tamanho de
Posto de
2
4
0
3
Posto de
3
4
0
3
b) Para cada uma das matrizes da tabela acima determine se o sistema homogêneo
, é possível. Indique a quantidade de soluções para cada caso.
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| Tamanho de
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| Posto de
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2 | 4 | 0 | 3 |
| Posto de
|
3 | 4 | 0 | 3 |
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, usando exatamente os dados da tabela.
Dados (peguei os números da tabela):
- Caso (a):
tem tamanho , , . - Caso (b):
tem tamanho , , . - Caso (c):
tem tamanho , , . - Caso (d):
tem tamanho , , .
O que o enunciado pede:
- (a) Para cada caso, decidir se o sistema
é possível (i.e. consistente). Se for possível, determinar o número de variáveis livres da solução geral e justificar. - (b) Para cada matriz da tabela, analisar o sistema homogêneo
: dizer se é possível (existência de solução) e indicar a quantidade de soluções (única ou infinita).
A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Recados essenciais (fórmulas e conceitos que vamos usar) — explicados com calma.
- Definição de posto:
é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes de . Ele é um inteiro com quando é . - Matriz aumentada:
é a matriz obtida juntando a coluna(s) do vetor a ; seu posto é . - Critério de consistência (teorema fundamental que usamos): o sistema linear
é consistente (possui pelo menos uma solução) se, e somente se,
Se os postos forem diferentes, o sistema é inconsistente (sem solução).
- Contagem de variáveis livres: se
tem colunas (i.e. variáveis) e o sistema é consistente, então o número de variáveis livres na solução geral é
Isto vem do fato de que
é o número de variáveis básicas (pivotais) e o resto são livres.
- Para o sistema homogêneo
: ele é sempre consistente (a solução sempre serve). O número de soluções depende de : - se
então a solução é única ( ); - se
então há infinitas soluções; a dimensão do espaço de soluções é .
- se
Agora aplico essas ideias a cada caso.
Passo 3
Caso (a): dados:
é
,
,
.
- Verificação de consistência:
e . Como os dois postos são diferentes, pelo critério de consistência o sistema é inconsistente. Logo não é possível (não há solução). - Sobre número de variáveis livres: essa pergunta só faz sentido quando o sistema é consistente. Como aqui o sistema é impossível, não há solução e não existe conjunto de variáveis livres (ou seja, não aplicável).
Passo 4
Caso (b): dados:
é
,
,
.
- Verificação de consistência:
, então o sistema é consistente (possui solução). - Número de variáveis:
(número de colunas) é . Pelo conto das variáveis livres,
Portanto existe solução e a solução geral tem
variável livre (ou seja, um parâmetro livre).
Passo 5
Caso (c): dados:
é
,
,
.
- Verificação de consistência:
, então o sistema é consistente. - Interpretação:
significa que todas as linhas/colunas de são linearmente dependentes — na prática é a matriz zero (ou equivalente), então todas as equações são . - Número de variáveis:
. Assim
Portanto o sistema
tem solução e a solução geral tem
variáveis livres (isto é, todos os
componentes de
são livres e há infinitas soluções; quando
qualquer
que satisfaça as equações de
— aqui
com posto zero implica que
é compatível com isso — é solução).
Passo 6
Caso (d): dados:
é
,
,
.
- Verificação de consistência: postos iguais (
), logo o sistema é consistente. - Número de variáveis:
. Portanto
Isto significa que não há variáveis livres — a solução é única. Em outras palavras,
tem posto máximo (colunas independentes) e, sendo quadrada
com posto
, geralmente é invertível e o sistema tem exatamente uma solução.
Passo 7
Agora a parte (b) explicitando o sistema homogêneo
para cada caso (usando só
e
):
Regra rápida e direta: o homogêneo é sempre possível; número de soluções depende de .
Regra rápida e direta: o homogêneo é sempre possível; número de soluções depende de
- Caso (a):
é e . Então e a dimensão do espaço solução é . Conclusão: o sistema homogêneo tem infinitas soluções (uma família com parâmetro livre), portanto não é apenas a solução trivial. - Caso (b):
é e . Então e dimensão do espaço solução é . Conclusão: infinitas soluções (um parâmetro livre). - Caso (c):
é e . Então e dimensão do espaço solução é . Conclusão: infinitas soluções (quatro parâmetros livres; no caso é a matriz zero e qualquer vetor resolve ). - Caso (d):
é e . Então e dimensão do espaço solução é . Conclusão: solução única (apenas ).
Pequena intuição extra e motivação (para a prova): pense em
como o número de equações “independentes” que realmente restringem as variáveis. O resto das variáveis ficam livres e geram parâmetros na solução. Se as equações independentes igualam o número de variáveis (
) então tudo está preso e só sobra a solução trivial no caso homogêneo.
Resposta
(a) Sistema impossível (inconsistente); número de variáveis livres: não aplicável (sem solução).
(b) Sistema possível; número de variáveis livres:
.
(c) Sistema possível; número de variáveis livres:
.
(d) Sistema possível; número de variáveis livres:
.
(b) (homogêneo)
(a) infinitas soluções (dimensão do espaço solução ).
(b) infinitas soluções (dimensão ).
(c) infinitas soluções (dimensão ).
(d) solução única (apenas , dimensão
).
(a) infinitas soluções (dimensão do espaço solução
(b) infinitas soluções (dimensão
(c) infinitas soluções (dimensão
(d) solução única (apenas