a) Em cada parte, use a informação da tabela para determinar se o sistema A X=B é possível. Se for, determine o número de variáveis livres da solução geral. Justifique sua resposta.
(a) (b) \text{(c)} (d)
Tamanho de A 3 \times 3 9 \times 5 4 \times 4 3 \times 3
Posto de A 2 4 0 3
Posto de [A \mid B] 3 4 0 3
b) Para cada uma das matrizes da tabela acima determine se o sistema homogêneo A X=0, é possível. Indique a quantidade de soluções para cada caso.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, usando exatamente os dados da tabela.
Dados (peguei os números da tabela):
  • Caso (a): A tem tamanho 3\times3, \operatorname{rank}(A)=2, \operatorname{rank}([A\mid B])=3.
  • Caso (b): A tem tamanho 9\times5, \operatorname{rank}(A)=4, \operatorname{rank}([A\mid B])=4.
  • Caso (c): A tem tamanho 4\times4, \operatorname{rank}(A)=0, \operatorname{rank}([A\mid B])=0.
  • Caso (d): A tem tamanho 3\times3, \operatorname{rank}(A)=3, \operatorname{rank}([A\mid B])=3.
O que o enunciado pede:
  • (a) Para cada caso, decidir se o sistema A X=B é possível (i.e. consistente). Se for possível, determinar o número de variáveis livres da solução geral e justificar.
  • (b) Para cada matriz da tabela, analisar o sistema homogêneo A X=0: dizer se é possível (existência de solução) e indicar a quantidade de soluções (única ou infinita).
A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Recados essenciais (fórmulas e conceitos que vamos usar) — explicados com calma.
  • Definição de posto: \operatorname{rank}(A) é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes de A. Ele é um inteiro com 0\le \operatorname{rank}(A)\le \min(m,n) quando A é m\times n.
  • Matriz aumentada: [A\mid B] é a matriz obtida juntando a coluna(s) do vetor B a A; seu posto é \operatorname{rank}([A\mid B]).
  • Critério de consistência (teorema fundamental que usamos): o sistema linear A X=B é consistente (possui pelo menos uma solução) se, e somente se,
\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid B]).
Se os postos forem diferentes, o sistema é inconsistente (sem solução).
  • Contagem de variáveis livres: se A tem n colunas (i.e. n variáveis) e o sistema é consistente, então o número de variáveis livres na solução geral é
\#\text{variáveis livres}=n-\operatorname{rank}(A).á
Isto vem do fato de que \operatorname{rank}(A) é o número de variáveis básicas (pivotais) e o resto são livres.
  • Para o sistema homogêneo A X=0: ele é sempre consistente (a solução X=0 sempre serve). O número de soluções depende de \operatorname{rank}(A):
    • se \operatorname{rank}(A)=n então a solução é única ( X=0);
    • se \operatorname{rank}(A)<n então há infinitas soluções; a dimensão do espaço de soluções é n-\operatorname{rank}(A).
Agora aplico essas ideias a cada caso.

Passo 3

Caso (a): dados: A é 3\times3, \operatorname{rank}(A)=2, \operatorname{rank}([A\mid B])=3.
  • Verificação de consistência: \operatorname{rank}(A)=2 e \operatorname{rank}([A\mid B])=3. Como os dois postos são diferentes, pelo critério de consistência o sistema A X=B é inconsistente. Logo não é possível (não há solução).
  • Sobre número de variáveis livres: essa pergunta só faz sentido quando o sistema é consistente. Como aqui o sistema é impossível, não há solução e não existe conjunto de variáveis livres (ou seja, não aplicável).

Passo 4

Caso (b): dados: A é 9\times5, \operatorname{rank}(A)=4, \operatorname{rank}([A\mid B])=4.
  • Verificação de consistência: \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid B])=4, então o sistema A X=B é consistente (possui solução).
  • Número de variáveis: n (número de colunas) é 5. Pelo conto das variáveis livres,
\#\text{variáveis livres}=n-\operatorname{rank}(A)=5-4=1.á
Portanto existe solução e a solução geral tem 1 variável livre (ou seja, um parâmetro livre).

Passo 5

Caso (c): dados: A é 4\times4, \operatorname{rank}(A)=0, \operatorname{rank}([A\mid B])=0.
  • Verificação de consistência: \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid B])=0, então o sistema A X=B é consistente.
  • Interpretação: \operatorname{rank}(A)=0 significa que todas as linhas/colunas de A são linearmente dependentes — na prática \!A é a matriz zero (ou equivalente), então todas as equações são 0=0.
  • Número de variáveis: n=4. Assim
\#\text{variáveis livres}=n-\operatorname{rank}(A)=4-0=4.á
Portanto o sistema A X=B tem solução e a solução geral tem 4 variáveis livres (isto é, todos os 4 componentes de X são livres e há infinitas soluções; quando A=0 qualquer X que satisfaça as equações de B — aqui [A\mid B] com posto zero implica que B é compatível com isso — é solução).

Passo 6

Caso (d): dados: A é 3\times3, \operatorname{rank}(A)=3, \operatorname{rank}([A\mid B])=3.
  • Verificação de consistência: postos iguais ( 3=3), logo o sistema é consistente.
  • Número de variáveis: n=3. Portanto
\#\text{variáveis livres}=n-\operatorname{rank}(A)=3-3=0.á
Isto significa que não há variáveis livres — a solução é única. Em outras palavras, A tem posto máximo (colunas independentes) e, sendo quadrada 3\times3 com posto 3, geralmente é invertível e o sistema tem exatamente uma solução.

Passo 7

Agora a parte (b) explicitando o sistema homogêneo A X=0 para cada caso (usando só \operatorname{rank}(A) e n):
Regra rápida e direta: o homogêneo é sempre possível; número de soluções depende de n-\operatorname{rank}(A).
  • Caso (a): A é 3\times3 e \operatorname{rank}(A)=2. Então n=3 e a dimensão do espaço solução é 3-2=1. Conclusão: o sistema homogêneo tem infinitas soluções (uma família com 1 parâmetro livre), portanto não é apenas a solução trivial.
  • Caso (b): A é 9\times5 e \operatorname{rank}(A)=4. Então n=5 e dimensão do espaço solução é 5-4=1. Conclusão: infinitas soluções (um parâmetro livre).
  • Caso (c): A é 4\times4 e \operatorname{rank}(A)=0. Então n=4 e dimensão do espaço solução é 4-0=4. Conclusão: infinitas soluções (quatro parâmetros livres; no caso A é a matriz zero e qualquer vetor X\in\mathbb{R}^4 resolve A X=0).
  • Caso (d): A é 3\times3 e \operatorname{rank}(A)=3. Então n=3 e dimensão do espaço solução é 3-3=0. Conclusão: solução única (apenas X=0).
Pequena intuição extra e motivação (para a prova): pense em \operatorname{rank}(A) como o número de equações “independentes” que realmente restringem as variáveis. O resto das variáveis ficam livres e geram parâmetros na solução. Se as equações independentes igualam o número de variáveis ( \operatorname{rank}(A)=n) então tudo está preso e só sobra a solução trivial no caso homogêneo.

Resposta

(a) Sistema impossível (inconsistente); número de variáveis livres: não aplicável (sem solução).
(b) Sistema possível; número de variáveis livres: 1.
(c) Sistema possível; número de variáveis livres: 4.
(d) Sistema possível; número de variáveis livres: 0.
(b) (homogêneo)
(a) infinitas soluções (dimensão do espaço solução =3-2=1).
(b) infinitas soluções (dimensão =5-4=1).
(c) infinitas soluções (dimensão =4-0=4).
(d) solução única (apenas X=0, dimensão =3-3=0).

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