Para cada uma das FT a seguir, determine ζ e ω_{n} e caracterize a natureza da resposta;
\mathrm{G}(s)=\frac{400}{s^{2}+12 s+400}

Passo 1

O enunciado fornece a função de transferência
G(s)=\frac{400}{s^{2}+12s+400}
e pede explicitamente:
  • Determinar \zeta (fator de amortecimento) e \omega_{n} (frequência natural não amortecida);
  • Caracterizar a natureza da resposta do sistema.
Informações relevantes dadas:
  • Numerador: 400.
  • Denominador: s^{2}+12s+400.
  • Não há mais informações externas (exceto a própria forma da função de transferência).

Passo 2

Vamos lembrar a forma canônica de uma função de transferência de segunda ordem padrão, muito usada em provas e exercícios:
G_{\text{can}}(s)=\frac{K\,\omega_{n}^{2}}{s^{2}+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}}.
O que isso significa (explicando cada termo, devagarinho):
  • K é o ganho estático (ganho em baixa frequência, para sistemas típicos); é um número real.
  • \omega_{n} é a frequência natural não amortecida, em \mathrm{rad/s}. É a frequência com que o sistema oscilaria se não houvesse amortecimento.
  • \zeta é o fator de amortecimento (damping ratio), adimensional. Ele determina se o sistema oscila e quão rápido as oscilações decaem.
    Valores importantes de \zeta:
  • \zeta>1: sobreamortecido (raízes reais distintas, sem oscilações).
  • \zeta=1: criticamente amortecido (raízes reais iguais).
  • 0<\zeta<1: subamortecido (underdamped) — resposta oscilatória com amortecimento exponencial.
  • \zeta=0: não amortecido (sustenta oscilações permanentes).
    Também vale a relação entre os coeficientes do denominador canônico e os parâmetros:
2\zeta\omega_{n}=\text{coeficiente de }s,\qquad \omega_{n}^{2}=\text{termo independente}.

Passo 3

Agora igualamos o denominador dado com o denominador canônico:
s^{2}+12s+400 \quad\longleftrightarrow\quad s^{2}+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}.
Portanto obtemos duas equações:
2\zeta\omega_{n}=12, \qquad \omega_{n}^{2}=400.
Da segunda equação:
\omega_{n}=\sqrt{400}=20\\ \mathrm{rad/s}.
Substituindo em 2\zeta\omega_{n}=12:
2\zeta\cdot 20=12 \quad\Rightarrow\quad 40\zeta=12 \quad\Rightarrow\quad \zeta=\frac{12}{40}=0{,}3.

Passo 4

Interpretação imediata dos valores encontrados:
  • \zeta=0{,}3 satisfaz 0<\zeta<1, então o sistema é subamortecido (underdamped). Em palavras: a resposta a um impulso ou degrau terá oscilações cujo envelope decai exponencialmente.
  • \omega_{n}=20\\ \mathrm{rad/s} é a frequência natural não amortecida.
    Também podemos identificar o ganho K comparando numeradores: como \omega_n^2=400 e o numerador dado é 400, obtemos K=1. Ou seja, é um sistema de segunda ordem com ganho unitário na forma canônica.

Passo 5

Para caracterizar mais a resposta (valores úteis na prova), calculamos alguns parâmetros derivados e mostramos como usá-los:
  1. Polos (forma padrão):
s=-\zeta\omega_{n}\pm j\,\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}.
Substituindo \zeta=0{,}3 e \omega_{n}=20:
-\zeta\omega_{n}=-0{,}3\cdot 20=-6,
\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}=20\sqrt{1-0{,}3^{2}}=20\sqrt{1-0{,}09}=20\sqrt{0{,}91}\approx 19{,}079.
Logo os polos são
s\approx -6\pm j\,19{,}079.
Isto confirma que são conjugados complexos com parte real negativa (sistema estável e oscilatório amortecido).
  1. Frequência natural amortecida ( \omega_{d}):
\omega_{d}=\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}\approx 19{,}079\\ \mathrm{rad/s}.
  1. Tempo até o pico ( T_{p}) — tempo do primeiro pico da resposta ao degrau:
T_{p}=\frac{\pi}{\omega_{d}}\approx\frac{\pi}{19{,}079}\approx 0{,}1647\\ \mathrm{s}.
  1. Overhoot percentual ( PO) para resposta a um degrau (fórmula padrão):
PO=e^{-\dfrac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}}.
Substituindo:
\dfrac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}\approx \frac{0{,}3\pi}{\sqrt{0{,}91}}\approx 0{,}988,
PO\approx e^{-0{,}988}\approx 0{,}372 \Rightarrow 37{,}2\% \text{ de dépasse}.é
  1. Tempo de acomodação (critério ~2%), aproximação usual:
T_{s}\approx \frac{4}{\zeta\omega_{n}}=\frac{4}{0{,}3\cdot 20}=\frac{4}{6}\approx 0{,}6667\\ \mathrm{s}.
Esses números são úteis na prova para descrever quantitativamente a natureza da resposta (quanto oscila, quão rápido decai, etc.).

Passo 6

Resumo interpretativo, estilo “na prova, diga isso rápido”:
  • \zeta=0{,}3 (subamortecido) → resposta oscilatória amortecida.
  • Sistema estável (polos com parte real negativa: -6\pm j19{,}079).
  • \omega_{n}=20\\ \mathrm{rad/s}, \omega_{d}\approx 19{,}079\\ \mathrm{rad/s}.
  • Indicadores típicos: PO\approx 37{,}2\%, T_{p}\approx 0{,}1647\\ \mathrm{s}, T_{s}\approx 0{,}667\\ \mathrm{s}.
    Pronto — com isso dá para responder numa prova: os valores pedem \zeta e \omega_n e a caracterização (subamortecido, estável, com polos complexos e as quantidades derivadas caso peçam números).

Resposta

\zeta=0{,}3
\omega_{n}=20\\ \mathrm{rad/s}
Resposta: subamortecido (underdamped), estável; polos em s\approx -6\pm j\,19{,}079, \omega_{d}\approx 19{,}079\\ \mathrm{rad/s}, PO\approx 37{,}2\%, T_{p}\approx 0{,}1647\\ \mathrm{s}, T_{s}\approx 0{,}667\\ \mathrm{s}.

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