Para cada uma das FT a seguir, determine
e
e caracterize a natureza da resposta;
Passo 1
O enunciado fornece a função de transferência
e pede explicitamente:
- Determinar
(fator de amortecimento) e (frequência natural não amortecida); - Caracterizar a natureza da resposta do sistema.
Informações relevantes dadas:
- Numerador:
. - Denominador:
. - Não há mais informações externas (exceto a própria forma da função de transferência).
Passo 2
Vamos lembrar a forma canônica de uma função de transferência de segunda ordem padrão, muito usada em provas e exercícios:
O que isso significa (explicando cada termo, devagarinho):
-
é o ganho estático (ganho em baixa frequência, para sistemas típicos); é um número real. -
é a frequência natural não amortecida, em . É a frequência com que o sistema oscilaria se não houvesse amortecimento. -
é o fator de amortecimento (damping ratio), adimensional. Ele determina se o sistema oscila e quão rápido as oscilações decaem.
Valores importantes de: -
: sobreamortecido (raízes reais distintas, sem oscilações). -
: criticamente amortecido (raízes reais iguais). -
: subamortecido (underdamped) — resposta oscilatória com amortecimento exponencial. -
: não amortecido (sustenta oscilações permanentes).
Também vale a relação entre os coeficientes do denominador canônico e os parâmetros:
Passo 3
Agora igualamos o denominador dado com o denominador canônico:
Portanto obtemos duas equações:
Da segunda equação:
Substituindo em
:
Passo 4
Interpretação imediata dos valores encontrados:
-
satisfaz , então o sistema é subamortecido (underdamped). Em palavras: a resposta a um impulso ou degrau terá oscilações cujo envelope decai exponencialmente. -
é a frequência natural não amortecida.
Também podemos identificar o ganhocomparando numeradores: como e o numerador dado é , obtemos . Ou seja, é um sistema de segunda ordem com ganho unitário na forma canônica.
Passo 5
Para caracterizar mais a resposta (valores úteis na prova), calculamos alguns parâmetros derivados e mostramos como usá-los:
- Polos (forma padrão):
Substituindo
e
:
Logo os polos são
Isto confirma que são conjugados complexos com parte real negativa (sistema estável e oscilatório amortecido).
- Frequência natural amortecida (
):
- Tempo até o pico (
) — tempo do primeiro pico da resposta ao degrau:
- Overhoot percentual (
) para resposta a um degrau (fórmula padrão):
Substituindo:
- Tempo de acomodação (critério ~2%), aproximação usual:
Esses números são úteis na prova para descrever quantitativamente a natureza da resposta (quanto oscila, quão rápido decai, etc.).
Passo 6
Resumo interpretativo, estilo “na prova, diga isso rápido”:
-
(subamortecido) → resposta oscilatória amortecida. - Sistema estável (polos com parte real negativa:
). -
, . - Indicadores típicos:
, , .
Pronto — com isso dá para responder numa prova: os valores pedeme e a caracterização (subamortecido, estável, com polos complexos e as quantidades derivadas caso peçam números).
Resposta
Resposta: subamortecido (underdamped), estável; polos em