Em cada parte, use a informação da tabela para determinar se o sistema
é possível. Se for, determine o número de variáveis livres da solução geral. Justifique sua resposta.
Tamanho de
Posto de
2
4
0
3
Posto de
3
4
0
3
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| Tamanho de
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| Posto de
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2 | 4 | 0 | 3 |
| Posto de
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3 | 4 | 0 | 3 |
Passo 1
O enunciado pede, para cada item
, que se usem os dados da tabela para decidir se o sistema linear
é possível (isto é, se tem solução). Se tiver solução, pede também o número de variáveis livres da solução geral. Vou listar aqui, extraindo os dados da tabela, o tamanho de
, o posto de
e o posto da matriz aumentada
em cada item:
- (a)
é . Posto de : . Posto de : . - (b)
é . Posto de : . Posto de : . - (c)
é . Posto de : . Posto de : . - (d)
é . Posto de : . Posto de : .
Observação importante: o número de incógnitas
é igual ao número de colunas de
. Vou usar isso em cada item (por exemplo, em (a) e (d) tem
; em (b) tem
; em (c) tem
).
Passo 2
Conceitos e ferramenta que usarei (explicado passo a passo, como um profe amigo):
-
O que é o posto (rank)?
- O posto de uma matriz
é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes de . Outra forma prática: é o número de pivôs que aparecem quando se reduz à forma escalonada por linhas. Denoto o posto.
- O posto de uma matriz
-
O que é a matriz aumentada
? - É a matriz obtida concatenando a coluna (ou colunas) do vetor
à direita da matriz . Serve para estudar as equações via eliminação por linhas.
- É a matriz obtida concatenando a coluna (ou colunas) do vetor
-
Teorema de Rouché–Capelli (a ferramenta decisiva):
- O sistema linear
é consistente (tem solução) se e somente se
- Se essa igualdade não vale, o sistema é inconsistente (não tem solução).
- O sistema linear
-
Quantas variáveis livres há quando o sistema é consistente?
- Se o sistema é consistente e
tem colunas (ou seja, incógnitas), e , então o número de variáveis livres da solução geral é
- Intuição rápida:
pivôs fixam incógnitas (as básicas) e as restantes podem ser escolhidas livremente (as livres).
- Se o sistema é consistente e
Vou aplicar esses pontos a cada item.
Passo 3
Análise do item (a). Dados:
é
, logo
.
.
.
Aplicando Rouché–Capelli: como
tem-se
. Portanto o sistema é inconsistente: não existe solução (impossível). Não faz sentido falar em variáveis livres porque não há solução.
Breve intuição: a coluna adicional do vetor
aumentou o posto, o que significa que
não fica no espaço coluna de
; ou seja,
não é combinação linear das colunas de
, logo não existe
tal que
.
Passo 4
Análise do item (b). Dados:
é
, então
.
.
.
Aplicando Rouché–Capelli: como
o sistema é consistente: existe pelo menos uma solução. Agora o número de variáveis livres é
Interpretação: das
incógnitas,
serão fixadas pelos pivôs e
permanecerá livre, gerando uma família de soluções com um parâmetro livre.
Passo 5
Análise do item (c). Dados:
é
, então
.
.
.
Aqui
, logo pelo teorema o sistema é consistente. Como
, isso significa que todas as colunas de
são linearmente dependentes e, na prática, que
é a matriz zero (ou equivalente por eliminação). A igualdade de postos com a matriz aumentada implica que
também é o vetor zero (ou que cada coluna de
está no espaço gerado pelas colunas de
— aqui esse espaço é o
). Assim todos os
incógnitas são livres:
Isso significa que a solução geral tem quatro parâmetros livres; geometricalmente, todo
é solução (no caso
).
Passo 6
Análise do item (d). Dados:
é
, então
.
.
.
Aqui
. Como o posto é igual ao número de incógnitas
, temos uma solução consistente e única (não há variáveis livres). O número de variáveis livres é
Intuição: posto completo significa que
tem pivôs em todas as colunas (é invertível no caso de matriz quadrada), então a única solução é
.
Resposta
(a) impossível
(b) possível; número de variáveis livres:
(c) possível; número de variáveis livres:
(d) possível; número de variáveis livres: