Em cada parte, use a informação da tabela para determinar se o sistema A X=B é possível. Se for, determine o número de variáveis livres da solução geral. Justifique sua resposta.
(a) (b) \text{(c)} (d)
Tamanho de A 3 \times 3 9 \times 5 4 \times 4 3 \times 3
Posto de A 2 4 0 3
Posto de [A \mid B] 3 4 0 3

Passo 1

O enunciado pede, para cada item (a),(b),\text{(c)},(d), que se usem os dados da tabela para decidir se o sistema linear A X = B é possível (isto é, se tem solução). Se tiver solução, pede também o número de variáveis livres da solução geral. Vou listar aqui, extraindo os dados da tabela, o tamanho de A, o posto de A e o posto da matriz aumentada [A\mid B] em cada item:
  • (a) A é 3\times3. Posto de A: 2. Posto de [A\mid B]: 3.
  • (b) A é 9\times5. Posto de A: 4. Posto de [A\mid B]: 4.
  • (c) A é 4\times4. Posto de A: 0. Posto de [A\mid B]: 0.
  • (d) A é 3\times3. Posto de A: 3. Posto de [A\mid B]: 3.
Observação importante: o número de incógnitas n é igual ao número de colunas de A. Vou usar isso em cada item (por exemplo, em (a) e (d) tem n=3; em (b) tem n=5; em (c) tem n=4).

Passo 2

Conceitos e ferramenta que usarei (explicado passo a passo, como um profe amigo):
  1. O que é o posto (rank)?
    • O posto de uma matriz M é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes de M. Outra forma prática: é o número de pivôs que aparecem quando se reduz M à forma escalonada por linhas. Denoto \operatorname{rank}(M) o posto.
  2. O que é a matriz aumentada [A\mid B]?
    • É a matriz obtida concatenando a coluna (ou colunas) do vetor B à direita da matriz A. Serve para estudar as equações A X=B via eliminação por linhas.
  3. Teorema de Rouché–Capelli (a ferramenta decisiva):
    • O sistema linear A X=B é consistente (tem solução) se e somente se
    \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid B]).
    • Se essa igualdade não vale, o sistema é inconsistente (não tem solução).
  4. Quantas variáveis livres há quando o sistema é consistente?
    • Se o sistema é consistente e A tem n colunas (ou seja, n incógnitas), e \operatorname{rank}(A)=r, então o número de variáveis livres da solução geral é
    \text{nº de variáveis livres} = n-r.ºá
    • Intuição rápida: r pivôs fixam r incógnitas (as básicas) e as restantes n-r podem ser escolhidas livremente (as livres).
Vou aplicar esses pontos a cada item.

Passo 3

Análise do item (a). Dados: A é 3\times3, logo n=3. \operatorname{rank}(A)=2. \operatorname{rank}([A\mid B])=3.
Aplicando Rouché–Capelli: como
\operatorname{rank}(A)=2 \quad\text{e}\quad \operatorname{rank}([A\mid B])=3,
tem-se \operatorname{rank}(A)\neq\operatorname{rank}([A\mid B]). Portanto o sistema é inconsistente: não existe solução (impossível). Não faz sentido falar em variáveis livres porque não há solução.
Breve intuição: a coluna adicional do vetor B aumentou o posto, o que significa que B não fica no espaço coluna de A; ou seja, B não é combinação linear das colunas de A, logo não existe X tal que A X=B.

Passo 4

Análise do item (b). Dados: A é 9\times5, então n=5. \operatorname{rank}(A)=4. \operatorname{rank}([A\mid B])=4.
Aplicando Rouché–Capelli: como
\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid B])=4,
o sistema é consistente: existe pelo menos uma solução. Agora o número de variáveis livres é
n - \operatorname{rank}(A) = 5 - 4 = 1.
Interpretação: das 5 incógnitas, 4 serão fixadas pelos pivôs e 1 permanecerá livre, gerando uma família de soluções com um parâmetro livre.

Passo 5

Análise do item (c). Dados: A é 4\times4, então n=4. \operatorname{rank}(A)=0. \operatorname{rank}([A\mid B])=0.
Aqui \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid B])=0, logo pelo teorema o sistema é consistente. Como \operatorname{rank}(A)=0, isso significa que todas as colunas de A são linearmente dependentes e, na prática, que A é a matriz zero (ou equivalente por eliminação). A igualdade de postos com a matriz aumentada implica que B também é o vetor zero (ou que cada coluna de [A\mid B] está no espaço gerado pelas colunas de A — aqui esse espaço é o \{0\}). Assim todos os 4 incógnitas são livres:
\text{nº de variáveis livres} = n - \operatorname{rank}(A) = 4 - 0 = 4.ºá
Isso significa que a solução geral tem quatro parâmetros livres; geometricalmente, todo \mathbb{R}^4 é solução (no caso A=0,B=0).

Passo 6

Análise do item (d). Dados: A é 3\times3, então n=3. \operatorname{rank}(A)=3. \operatorname{rank}([A\mid B])=3.
Aqui \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid B])=3. Como o posto é igual ao número de incógnitas n, temos uma solução consistente e única (não há variáveis livres). O número de variáveis livres é
n - \operatorname{rank}(A) = 3 - 3 = 0.
Intuição: posto completo significa que A tem pivôs em todas as colunas (é invertível no caso de matriz quadrada), então a única solução é X=A^{-1}B.

Resposta

(a) impossível
(b) possível; número de variáveis livres: 1
(c) possível; número de variáveis livres: 4
(d) possível; número de variáveis livres: 0

Exercícios relacionados