Seja A=\left[\begin{array}{rr}1 & 3 \\\\ 4 & -3\end{array}\right]. Encontre todos os vetores coluna u=\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right] tal qu A u=3 u.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] 4 & -3\end{pmatrix}
e pede: encontrar todos os vetores coluna u=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} tais que
A\,u=3\,u.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A matriz A está completamente dada acima.
  • O vetor incógnita é u=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} com x,y reais.
  • A condição A\,u=3\,u significa que u é um vetor que, ao ser multiplicado por A, resulta em três vezes ele mesmo.
    O que se pede: descrever todos os vetores u (todos os pares (x,y)) que satisfazem essa igualdade.]

Passo 2

Transformar a equação A\,u=3\,u numa forma de sistema linear que dá para resolver passo a passo.
Subtraindo 3u dos dois lados obtemos a forma homogênea
(A-3I)u=0,
onde I é a matriz identidade 2\times2. Vamos calcular A-3I:
A-3I=\begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] 4 & -3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3 & 0 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1-3 & 3-0 \\[4pt] 4-0 & -3-3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2 & 3 \\[4pt] 4 & -6\end{pmatrix}.]

Passo 3

Escrever o sistema linear equivalente (A-3I)u=0 nas equações escalares e analisá-las.
Multiplicando a matriz por u=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} obtemos
\begin{pmatrix}-2 & 3 \\[4pt] 4 & -6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2x+3y\\[4pt]4x-6y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Isso gera o sistema
\begin{cases} -2x+3y=0,\\[4pt] 4x-6y=0. \end{cases}
Observação: a segunda equação é exatamente o dobro da primeira (ou a primeira é metade da segunda). Assim as duas equações são dependentes entre si e só fornecem uma condição independente. Logo o sistema tem infinitas soluções com uma liberdade (uma variável livre).]

Passo 4

Resolver o sistema parametrizando a solução.
Usamos a equação mais simples -2x+3y=0. Isolando y:
3y=2x\quad\Rightarrow\quad y=\frac{2}{3}x.
Para parametrizar com números inteiros, escolha um parâmetro t\in\mathbb{R} tal que x=3t. Então
y=\frac{2}{3}(3t)=2t.
Portanto todos os vetores solução têm a forma
u=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3t\\[4pt]2t\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}3\\[4pt]2\end{pmatrix},
com t\in\mathbb{R}. Observação importante: t=0 dá o vetor nulo \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}, que satisfaz a equação trivialmente; em problemas de autovetores costuma-se excluir o vetor nulo e dizer que os autovetores são os vetores t\begin{pmatrix}3\\[4pt]2\end{pmatrix} com t\neq0.]

Passo 5

Verificação rápida para ganhar confiança (sempre bom checar na prova): calcular A\begin{pmatrix}3\\[4pt]2\end{pmatrix} e ver se dá 3\begin{pmatrix}3\\[4pt]2\end{pmatrix}.
A\begin{pmatrix}3\\[4pt]2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt]4 & -3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\[4pt]2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\cdot3+3\cdot2\\[4pt]4\cdot3+(-3)\cdot2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3+6\\[4pt]12-6\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}9\\[4pt]6\end{pmatrix} =3\begin{pmatrix}3\\[4pt]2\end{pmatrix},
confirmando que \begin{pmatrix}3\\[4pt]2\end{pmatrix} é uma solução e, por linearidade, qualquer múltiplo também o é.]

Resposta

u=t\begin{pmatrix}3\\[4pt]2\end{pmatrix},\quad t\in\mathbb{R}.]

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