Seja A=\left[\begin{array}{rr}1 & 3 \\\\ 4 & -3\end{array}\right]. Encontre todos os vetores coluna u=\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right] tal qu A u=3 u.
e pede: encontrar todos os vetores coluna u=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} tais que
A\,u=3\,u.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A matriz A está completamente dada acima.
O vetor incógnita é u=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} com x,y reais.
A condição A\,u=3\,u significa que u é um vetor que, ao ser multiplicado por A, resulta em três vezes ele mesmo.
O que se pede: descrever todos os vetores u (todos os pares (x,y)) que satisfazem essa igualdade.]
Passo 2
Transformar a equação A\,u=3\,u numa forma de sistema linear que dá para resolver passo a passo.
Subtraindo 3u dos dois lados obtemos a forma homogênea
(A-3I)u=0,
onde I é a matriz identidade 2\times2. Vamos calcular A-3I:
Observação: a segunda equação é exatamente o dobro da primeira (ou a primeira é metade da segunda). Assim as duas equações são dependentes entre si e só fornecem uma condição independente. Logo o sistema tem infinitas soluções com uma liberdade (uma variável livre).]
Passo 4
Resolver o sistema parametrizando a solução.
Usamos a equação mais simples -2x+3y=0. Isolando y:
3y=2x\quad\Rightarrow\quad y=\frac{2}{3}x.
Para parametrizar com números inteiros, escolha um parâmetro t\in\mathbb{R} tal que x=3t. Então
com t\in\mathbb{R}. Observação importante: t=0 dá o vetor nulo \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}, que satisfaz a equação trivialmente; em problemas de autovetores costuma-se excluir o vetor nulo e dizer que os autovetores são os vetores t\begin{pmatrix}3\\[4pt]2\end{pmatrix} com t\neq0.]
Passo 5
Verificação rápida para ganhar confiança (sempre bom checar na prova): calcular A\begin{pmatrix}3\\[4pt]2\end{pmatrix} e ver se dá 3\begin{pmatrix}3\\[4pt]2\end{pmatrix}.