Isto é útil quando desejamos resolver vários sistemas lineares que possuem a mesma matriz dos coeficientes. Usando a teoria acima resolva os sistema A X=B onde A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\\\ 2 & 5 & -4 \\\\ 3 & 7 & -5\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{l}111 \\\\ 311 \\\\ 511\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear A X = B onde estão dadas as matrizes
Então a pergunta é: encontrar o vetor coluna X tal que A X = B.]
Passo 2
Vou usar a ideia prática indicada no enunciado: quando temos vários sistemas com a mesma matriz A, é eficiente decompor A em fatores que facilitem a resolução. Aqui escolhemos a decomposição A=LU, onde:
L é uma matriz triangular inferior com 1 na diagonal (matriz unitária inferior);
U é uma matriz triangular superior.
A vantagem: para resolver A X = B escrevemos LU X = B. Definindo Y = U X obtemos primeiro o sistema triangular inferior
L Y = B
(resolvido por substituição forward), e depois
U X = Y
(resolvido por substituição back). Também vale lembrar que os elementos abaixo da diagonal em L são exatamente os multiplicadores usados na eliminação gaussiana.
Passo 3
Vamos construir L e U aplicando eliminação de Gauss (sem pivoteamento, pois conforme veremos a fatoração funciona diretamente).
Comentário final e incentivo: repare que depois de calcular L e U — um trabalho feito apenas uma vez — resolver para qualquer vetor B é rápido (dois sistemas triangulares). Isso é especialmente útil quando se tem muitos vetores B com a mesma matriz A. Vai dar certo na prova; você só precisa repetir o processo passo a passo com cuidado.