Isto é útil quando desejamos resolver vários sistemas lineares que possuem a mesma matriz dos coeficientes. Usando a teoria acima resolva os sistema A X=B onde A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\\\ 2 & 5 & -4 \\\\ 3 & 7 & -5\end{array}\right] e
B=\left[\begin{array}{l}111 \\\\ 311 \\\\ 511\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear A X = B onde estão dadas as matrizes
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & -2 \\[4pt] 2 & 5 & -4 \\[4pt] 3 & 7 & -5\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}111 \\[4pt] 311 \\[4pt] 511\end{pmatrix}.
Então a pergunta é: encontrar o vetor coluna X tal que A X = B.]

Passo 2

Vou usar a ideia prática indicada no enunciado: quando temos vários sistemas com a mesma matriz A, é eficiente decompor A em fatores que facilitem a resolução. Aqui escolhemos a decomposição A=LU, onde:
  • L é uma matriz triangular inferior com 1 na diagonal (matriz unitária inferior);
  • U é uma matriz triangular superior.
A vantagem: para resolver A X = B escrevemos LU X = B. Definindo Y = U X obtemos primeiro o sistema triangular inferior
L Y = B
(resolvido por substituição forward), e depois
U X = Y
(resolvido por substituição back). Também vale lembrar que os elementos abaixo da diagonal em L são exatamente os multiplicadores usados na eliminação gaussiana.

Passo 3

Vamos construir L e U aplicando eliminação de Gauss (sem pivoteamento, pois conforme veremos a fatoração funciona diretamente).
Matriz inicial:
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & -2 \\[4pt] 2 & 5 & -4 \\[4pt] 3 & 7 & -5\end{pmatrix}.
Eliminamos os elementos da primeira coluna abaixo de a_{11}=1.
O multiplicador para zerar a_{21} é
m_{21}=\frac{2}{1}=2.
Aplicando R_2 \leftarrow R_2 - m_{21}R_1 obtemos
R_2' = \bigl[\,2-2\cdot1,\; 5-2\cdot2,\; -4-2\cdot(-2)\,\bigr] = [0,\;1,\;0].
O multiplicador para zerar a_{31} é
m_{31}=\frac{3}{1}=3.
Aplicando R_3 \leftarrow R_3 - m_{31}R_1 obtemos
R_3' = \bigl[\,3-3\cdot1,\; 7-3\cdot2,\; -5-3\cdot(-2)\,\bigr] = [0,\;1,\;1].
Após a primeira etapa temos a matriz intermediária (esta é a forma de U parcial)
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Agora eliminamos o elemento a_{32} (na nova matriz) usando a segunda linha. O multiplicador é
m_{32}=\frac{1}{1}=1.
Aplicando R_3'' \leftarrow R_3' - m_{32}R_2' = [0,1,1] - 1\cdot[0,1,0] = [0,0,1].
Assim obtemos a matriz triangular superior final
U=\begin{pmatrix}1 & 2 & -2 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Os multiplicadores que usamos formam a matriz L (com diagonal de uns):
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[4pt] m_{21} & 1 & 0 \\[4pt] m_{31} & m_{32} & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[4pt] 2 & 1 & 0 \\[4pt] 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Verificação rápida (opcional, mas reconfortante): multiplicando L U recupera A:
L U = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[4pt] 2 & 1 & 0 \\[4pt] 3 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2 & -2 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 2 & -2 \\[4pt] 2 & 5 & -4 \\[4pt] 3 & 7 & -5\end{pmatrix}=A.
Também é útil notar que o determinante de A é o produto das diagonais de U:
\det(A)=1\cdot1\cdot1=1\neq 0,
logo A é inversível e a fatoração LU é válida.]

Passo 5

Agora resolvemos L Y = B por substituição forward. Escrevendo os componentes:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[4pt] 2 & 1 & 0 \\[4pt] 3 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_1\\[4pt] y_2\\[4pt] y_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}111\\[4pt]311\\[4pt]511\end{pmatrix}.
As equações são:
\begin{cases} y_1 = 111,\\[4pt] 2y_1 + y_2 = 311,\\[4pt] 3y_1 + y_2 + y_3 = 511. \end{cases}
Calculando passo a passo:
y_1 = 111.
y_2 = 311 - 2y_1 = 311 - 2\cdot111 = 311 - 222 = 89.
y_3 = 511 - 3y_1 - y_2 = 511 - 3\cdot111 - 89 = 511 - 333 - 89 = 89.
Portanto
Y=\begin{pmatrix}111\\[4pt]89\\[4pt]89\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora resolvemos U X = Y por substituição back. Recordando
U=\begin{pmatrix}1 & 2 & -2 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}, \qquad Y=\begin{pmatrix}111\\[4pt]89\\[4pt]89\end{pmatrix}, \qquad X=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\end{pmatrix}.
As equações são:
\begin{cases} x_1 + 2x_2 - 2x_3 = 111,\\[4pt] x_2 = 89,\\[4pt] x_3 = 89. \end{cases}
Das últimas duas já temos
x_2 = 89,\qquad x_3 = 89.
Substituindo na primeira:
x_1 + 2\cdot89 - 2\cdot89 = 111 \quad\Rightarrow\quad x_1 = 111.
Logo
X=\begin{pmatrix}111\\[4pt]89\\[4pt]89\end{pmatrix}.]

Passo 7

Comentário final e incentivo: repare que depois de calcular L e U — um trabalho feito apenas uma vez — resolver para qualquer vetor B é rápido (dois sistemas triangulares). Isso é especialmente útil quando se tem muitos vetores B com a mesma matriz A. Vai dar certo na prova; você só precisa repetir o processo passo a passo com cuidado.

Resposta

X=\begin{pmatrix}111\\[4pt]89\\[4pt]89\end{pmatrix}]

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