Isto é útil quando desejamos resolver vários sistemas lineares que possuem a mesma matriz dos coeficientes. Usando a teoria acima resolva os sistema A X=B onde A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\\\ 2 & 5 & -4 \\\\ 3 & 7 & -5\end{array}\right] e
B=\left[\begin{array}{c}1000 \\\\ 10 \\\\ 100\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede resolver o sistema linear A X = B com as matrizes dadas:
A = \begin{pmatrix}1 & 2 & -2 \\[4pt] 2 & 5 & -4 \\[4pt] 3 & 7 & -5\end{pmatrix},\qquad B = \begin{pmatrix}1000 \\[4pt] 10 \\[4pt] 100\end{pmatrix}.
As informações relevantes são: a matriz A é 3\times3 e o vetor B é coluna 3\times1. O objetivo é encontrar o vetor incógnita X tal que A X = B.]

Passo 2

Ideia que vamos usar (explicação didática e passo a passo).
  • Quando temos que resolver vários sistemas com a mesma matriz A e diferentes vetores direitos, é eficiente fatorar A como produto de uma matriz triangular inferior L por uma triangular superior U, isto é, A = L U. Depois, para cada vetor B resolve-se primeiro L Y = B por substituição para frente e então U X = Y por substituição para trás. A vantagem é que a fatoração L U é feita uma vez só e reaproveitada.
  • Aqui vamos calcular explicitamente a fatoração L U (metodologia de eliminação gaussiana / Doolittle), obter L e U, e depois fazer as substituições.
  • Na fatoração do tipo Doolittle escolhemos L com diagonal principal composta de 1's. Em cada etapa da eliminação, os multiplicadores usados para zerar abaixo do pivô viram entradas de L.

Passo 3

Fatoração A = L U por eliminação (mostrar os multiplicadores e as operações).
Partimos de
A = \begin{pmatrix}1 & 2 & -2 \\[4pt] 2 & 5 & -4 \\[4pt] 3 & 7 & -5\end{pmatrix}.
  1. Usamos o elemento a_{11}=1 como pivô para zerar as entradas abaixo na coluna 1. Os multiplicadores são
\ell_{21} = \frac{a_{21}}{a_{11}} = \frac{2}{1} = 2,\qquad \ell_{31} = \frac{a_{31}}{a_{11}} = \frac{3}{1} = 3.
Aplicando R_2 \leftarrow R_2 - \ell_{21} R_1 e R_3 \leftarrow R_3 - \ell_{31} R_1 obtemos a matriz intermediária:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
  1. Agora usamos o pivô na posição (2,2), que vale 1, para zerar a entrada abaixo dele. O multiplicador é
\ell_{32} = \frac{\text{(nova }a_{32})}{\text{pivô }a_{22}} = \frac{1}{1} = 1.ô
Aplicando R_3 \leftarrow R_3 - \ell_{32} R_2 obtemos a forma triangular superior
U = \begin{pmatrix}1 & 2 & -2 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Os multiplicadores coletados formam a matriz L com diagonal de 1's:
L = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] \ell_{21} & 1 & 0 \\[4pt] \ell_{31} & \ell_{32} & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 2 & 1 & 0 \\[4pt] 3 & 1 & 1\end{pmatrix}.
Verificação rápida (opcional): multiplicando L U obtém-se de volta A:
L U = \begin{pmatrix}1 & 2 & -2 \\[4pt] 2 & 5 & -4 \\[4pt] 3 & 7 & -5\end{pmatrix} = A.]

Passo 4

Resolver L Y = B\) por substituição para frente (explicando o método). A equação \(L Y = B\) é um sistema triangular inferior. Escrevendo componente a componente: \[\begin{cases} 1\cdot y_1 = b_1,\\[4pt] 2\cdot y_1 + 1\cdot y_2 = b_2,\\[4pt] 3\cdot y_1 + 1\cdot y_2 + 1\cdot y_3 = b_3. \end{cases}
Substituímos os valores de B\] que são \(b_1=1000, b_2=10, b_3=100 e resolvemos em ordem crescente de índices:
y_1 = b_1 = 1000.
y_2 = b_2 - 2 y_1 = 10 - 2\cdot 1000 = 10 - 2000 = -1990.
y_3 = b_3 - 3 y_1 - 1 y_2 = 100 - 3\cdot 1000 - (-1990) = 100 - 3000 + 1990 = -910.
Portanto
Y = \begin{pmatrix}1000 \\[4pt] -1990 \\[4pt] -910\end{pmatrix}.]

Passo 5

Resolver U X = Y por substituição para trás (explicando o método).
A equação U X = Y é triangular superior. Escrevendo as equações:
\begin{cases} 1\cdot x_1 + 2\cdot x_2 -2\cdot x_3 = y_1,\\[4pt] 1\cdot x_2 + 0\cdot x_3 = y_2,\\[4pt] 1\cdot x_3 = y_3. \end{cases}
Começamos pela última equação e vamos subindo:
x_3 = y_3 = -910.
x_2 = y_2 = -1990.
Agora a primeira equação:
x_1 = y_1 - 2 x_2 + 2 x_3 = 1000 - 2\cdot(-1990) + 2\cdot(-910).
Calcule passo a passo:
-2\cdot(-1990) = 3980,\qquad 2\cdot(-910) = -1820,
x_1 = 1000 + 3980 - 1820 = 1000 + 2160 = 3160.
Portanto
X = \begin{pmatrix}3160 \\[4pt] -1990 \\[4pt] -910\end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificação rápida (opcional, útil na prova para checar erro de contas).
Multiplicando A X temos (fazendo uma linha por vez):
Primeira linha: 1\cdot 3160 + 2\cdot(-1990) + (-2)\cdot(-910) = 3160 -3980 +1820 = 1000.
Segunda linha: 2\cdot 3160 + 5\cdot(-1990) + (-4)\cdot(-910) = 6320 -9950 +3640 = 10.
Terceira linha: 3\cdot 3160 + 7\cdot(-1990) + (-5)\cdot(-910) = 9480 -13930 +4550 = 100.
O produto confirma A X = B.

Resposta

X=\begin{pmatrix}3160\\[4pt]-1990\\[4pt]-910\end{pmatrix}]

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