Isto é útil quando desejamos resolver vários sistemas lineares que possuem a mesma matriz dos coeficientes. Usando a teoria acima resolva os sistema A X=B onde A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\\\ 2 & 5 & -4 \\\\ 3 & 7 & -5\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{c}1000 \\\\ 10 \\\\ 100\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede resolver o sistema linear A X = B com as matrizes dadas:
As informações relevantes são: a matriz A é 3\times3 e o vetor B é coluna 3\times1. O objetivo é encontrar o vetor incógnita X tal que A X = B.]
Passo 2
Ideia que vamos usar (explicação didática e passo a passo).
Quando temos que resolver vários sistemas com a mesma matriz A e diferentes vetores direitos, é eficiente fatorar A como produto de uma matriz triangular inferior L por uma triangular superior U, isto é, A = L U. Depois, para cada vetor B resolve-se primeiro L Y = B por substituição para frente e então U X = Y por substituição para trás. A vantagem é que a fatoração L U é feita uma vez só e reaproveitada.
Aqui vamos calcular explicitamente a fatoração L U (metodologia de eliminação gaussiana / Doolittle), obter L e U, e depois fazer as substituições.
Na fatoração do tipo Doolittle escolhemos L com diagonal principal composta de 1's. Em cada etapa da eliminação, os multiplicadores usados para zerar abaixo do pivô viram entradas de L.
Passo 3
Fatoração A = L U por eliminação (mostrar os multiplicadores e as operações).
Partimos de
Resolver L Y = B\) por substituição para frente (explicando o método).
A equação \(L Y = B\) é um sistema triangular inferior. Escrevendo componente a componente:
\[\begin{cases} 1\cdot y_1 = b_1,\\[4pt] 2\cdot y_1 + 1\cdot y_2 = b_2,\\[4pt] 3\cdot y_1 + 1\cdot y_2 + 1\cdot y_3 = b_3. \end{cases}
Substituímos os valores de B\] que são \(b_1=1000, b_2=10, b_3=100 e resolvemos em ordem crescente de índices:
X = \begin{pmatrix}3160 \\[4pt] -1990 \\[4pt] -910\end{pmatrix}.]
Passo 6
Verificação rápida (opcional, útil na prova para checar erro de contas).
Multiplicando A X temos (fazendo uma linha por vez):
Primeira linha: 1\cdot 3160 + 2\cdot(-1990) + (-2)\cdot(-910) = 3160 -3980 +1820 = 1000.
Segunda linha: 2\cdot 3160 + 5\cdot(-1990) + (-4)\cdot(-910) = 6320 -9950 +3640 = 10.
Terceira linha: 3\cdot 3160 + 7\cdot(-1990) + (-5)\cdot(-910) = 9480 -13930 +4550 = 100.
O produto confirma A X = B.