Em cada parte, use o teste da comparação para mostrar que a série converge.
sumk=1^infty 5 sen^2 kk!

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
sumk=1^infty 5sin^2kk!
converge usando o teste da comparação. O conteúdo principal aqui é séries numéricas e, em particular, o teste da comparação, além de usarmos a propriedade que sin^2k<=1 para todo inteiro k.

Passo 2

Sabendo que para todo k vale sin^2k<=1, podemos comparar cada termo da série original com um termo mais simples:
0<=5sin^2kk!<=5k!
Isso mostra que a nossa série é majorada pela série sumk=1^infty5/k!.

Passo 3

Resta verificar que a série maior
sumk=1^infty5k!=5sumk=1^infty1k!
converge. Sabemos que sumk=0^infty1/k!=e, logo sumk=1^infty1/k!=e-1. Multiplicando por 5 continua convergente. Pelo teste da comparação, como 0<=5sin^2k/k!<=5/k! e sum5/k!, concluímos que a série original converge.

Passo 4

Portanto, pelo teste da comparação, a série
sumk=1^infty 5sin^2kk!
converge.

Resposta

A série converge por comparação com sumk=1^infty5/k!, que é convergente.

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