Faça uma conjectura sobre a convergência ou a divergência da série e confirme-a usando o teste da comparação.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que analisar a série infinita
e decidir se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar o teste da comparação, que é uma técnica usada para comparar a série dada com uma série conhecida, cujas propriedades de convergência já estão estabelecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão
. Observe que no denominador temos
, e para valores grandes de
, o termo
domina o termo
. Então, podemos comparar
com
.
Passo 3
Agora, vamos escolher uma série para comparar. Sabemos que a série
é uma série p com
. Como
, essa série converge.
Passo 4
Vamos verificar a relação entre os termos das duas séries. Para todo
:
Isso acontece porque
, o que faz com que a fração
seja menor ou igual a
.
Passo 5
Como a série
é convergente e
para todo
, pelo teste da comparação, podemos concluir que a série
também converge.
Resposta
A série
converge.