Faça uma conjectura sobre a convergência ou a divergência da série e confirme-a usando o teste da comparação.
sumk=1^infty 2k^4+k

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que analisar a série infinita sumk=1^infty 2k^4+k e decidir se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar o teste da comparação, que é uma técnica usada para comparar a série dada com uma série conhecida, cujas propriedades de convergência já estão estabelecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão 2k^4+k. Observe que no denominador temos k^4 + k, e para valores grandes de k, o termo k^4 domina o termo k. Então, podemos comparar 2k^4+k com 2k^4.

Passo 3

Agora, vamos escolher uma série para comparar. Sabemos que a série sumk=1^infty 1k^4 é uma série p com p = 4. Como p > 1, essa série converge.

Passo 4

Vamos verificar a relação entre os termos das duas séries. Para todo k >= 1:
2k^4 + k <= 2k^4
Isso acontece porque k^4 + k >= k^4, o que faz com que a fração 2k^4+k seja menor ou igual a 2k^4.

Passo 5

Como a série sumk=1^infty 2k^4 é convergente e 2k^4 + k <= 2k^4 para todo k, pelo teste da comparação, podemos concluir que a série sumk=1^infty 2k^4+k também converge.

Resposta

A série sumk=1^infty 2k^4+k converge.

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