Em cada parte, use o teste da comparação para mostrar que a série diverge.
sumk=1^infty ln kk

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usarmos o teste da comparação para mostrar que a série sumk=1^infty ln kk diverge. Ou seja, queremos provar que a soma dos termos ln kk não chega a um número finito quando somamos de k = 1 até o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o teste da comparação. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com outra série cujo comportamento já conhecemos. Se a série que estamos analisando é maior que uma série que sabemos que diverge, então ela também diverge.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma série simples para comparar com sumk=1^infty ln kk. Vamos observar que ln k cresce mais devagar que k, mas ainda assim, para k >= 2, ln k é positivo e aumenta com k.
Sabemos que a série harmônica sumk=1^infty 1k diverge. Vamos ver se podemos relacionar ln kk com 1k.

Passo 4

Observe que para k >= 3, temos ln k >= 1. Então, ln kk >= 1k. Isso significa que cada termo da nossa série original é pelo menos tão grande quanto o correspondente termo da série harmônica.

Passo 5

Aplicando o teste da comparação, já que sumk=1^infty 1k diverge e ln kk >= 1k para k >= 3, podemos concluir que a série sumk=1^infty ln kk também diverge.

Resposta

A série sumk=1^infty ln kk diverge pelo teste da comparação.

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