Em cada parte, use o teste da comparação para mostrar que a série diverge.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usarmos o teste da comparação para mostrar que a série
diverge. Ou seja, queremos provar que a soma dos termos
não chega a um número finito quando somamos de
até o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o teste da comparação. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com outra série cujo comportamento já conhecemos. Se a série que estamos analisando é maior que uma série que sabemos que diverge, então ela também diverge.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma série simples para comparar com
. Vamos observar que
cresce mais devagar que
, mas ainda assim, para
,
é positivo e aumenta com
.
Sabemos que a série harmônica
diverge. Vamos ver se podemos relacionar
com
.
Passo 4
Observe que para
, temos
. Então,
. Isso significa que cada termo da nossa série original é pelo menos tão grande quanto o correspondente termo da série harmônica.
Passo 5
Aplicando o teste da comparação, já que
diverge e
para
, podemos concluir que a série
também diverge.
Resposta
A série
diverge pelo teste da comparação.