Faça uma conjectura sobre a convergência ou a divergência da série e confirme-a usando o teste da comparação.
sumk=2^infty k+1k^2-k

Passo 1

Nesse exercício queremos analisar a convergência da série sumk=2^infty k+1k^2-k. O tema é séries numéricas de termos positivos, e vamos usar o teste da comparação direta para confirmar nossa conjectura.

Passo 2

Para formular uma conjectura, olhamos no comportamento assintótico de ak=k+1k^2-k quando k é grande. Note que k+1sim k e k^2-ksim k^2, então akapproxkk^2=1k Como a série harmônica sum1/k diverge, suspeitamos que a dada série também diverge.

Passo 3

O teste da comparação direta diz que se 0<= ak<= bk e sum bk converge, então sum ak converge; ou se 0<= bk<= ak e sum bk diverge, então sum ak diverge. Aqui escolhemos bk=1/k, cuja série diverge.

Passo 4

Para k>=2 temos as desigualdades
k+1>= k,
k^2-k
Assim,
ak=k+1k^2-k>kk^2=1k=bk
Como sumk=2^infty bk diverge (série harmônica), pelo teste da comparação direta concluímos que sumk=2^infty ak também diverge.

Resposta

A série diverge.

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