Faça uma conjectura sobre a convergência ou a divergência da série e confirme-a usando o teste da comparação.
Passo 1
Nesse exercício queremos analisar a convergência da série
. O tema é séries numéricas de termos positivos, e vamos usar o teste da comparação direta para confirmar nossa conjectura.
Passo 2
Para formular uma conjectura, olhamos no comportamento assintótico de
quando
é grande. Note que
e
, então
Como a série harmônica
diverge, suspeitamos que a dada série também diverge.
Passo 3
O teste da comparação direta diz que se
e
converge, então
converge; ou se
e
diverge, então
diverge. Aqui escolhemos
, cuja série diverge.
Passo 4
Para
temos as desigualdades
Assim,
Como
diverge (série harmônica), pelo teste da comparação direta concluímos que
também diverge.
Resposta
A série diverge.