Em cada parte, use o teste da comparação para mostrar que a série diverge.
sumk=1^infty kk^3 / 2-12

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série sumk=1^infty kk^3/2-tfrac12 diverge usando o teste da comparação. O conteúdo envolvido é séries numéricas e o teste de comparação com uma série-p; vamos comparar com a série sum 1/k^1/2.

Passo 2

Para todo k>=1 temos k^3/2-tfrac12<= k^3/2. Então

Passo 3

kk^3/2-tfrac12>=kk^3/2=1k^1/2

Passo 4

Sabemos que a série sumk=1^infty1k^1/2 é uma série-p com p=1/2<=1, portanto diverge. Pelo teste da comparação direta, como kk^3/2-tfrac12>=1k^1/2 e a série comparativa diverge, concluímos que a série dada também diverge.

Resposta

A série diverge.

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