Prove que o método da bissecção é sempre convergente para funções contínuas com f(a) f(b)<0.
Para o MPF, mostre que se \left|\varphi^{\prime}(x)\right| \leq M<1 em um intervalo I, então o método converge.
Analise a ordem de convergência do método da secante.
Prove que o método da bissecção é sempre convergente para funções contínuas com f(a) f(b)<0.

Passo 1

Enunciado e dados que nos deram (resumido e claro):
\n1) Provar que o método da bissecção é sempre convergente para funções contínuas com f(a)f(b)<0. Os dados: f é contínua em [a,b] e f(a)f(b)<0.
\n2) Para o Teorema do Ponto Fixo (MPF), mostrar que se \left|\varphi'(x)\right|\le M<1 em um intervalo I (e assumimos que \varphi(I)\subset I), então o método iterativo x_{n+1}=\varphi(x_n) converge. Os dados: \varphi é diferenciável em I, \left|\varphi'(x)\right|\le M<1 em I, e \varphi(I)\subset I.
\n3) Analisar a ordem de convergência do método da secante. Dados implícitos: f é suficientemente suave perto da raiz \alpha (pelo menos f\in C^2 perto de \alpha) e \alpha é uma raiz simples ( f(\alpha)=0, f'(\alpha)\neq0).
\n(Pronto: agora sabemos o que pediram e quais hipóteses usaremos. A resolução começa no Passo 2.)

Passo 2

Prova do método da bissecção — construção e propriedades das subintervalos.
\n1) Definição do método: começamos com [a_0,b_0]=[a,b] tal que f(a_0)f(b_0)<0. Em cada iteração definimos o ponto médio
m_n=\frac{a_n+b_n}{2}.
Como f é contínua, por causa do sinal oposto em a_n e b_n existe pelo menos uma raiz em [a_n,b_n]. Então pickamos o subintervalo onde há troca de sinal:
\n- se f(a_n)f(m_n)\le 0 (ou seja sinais opostos ou f(m_n)=0), tomamos [a_{n+1},b_{n+1}]=[a_n,m_n];
\n- caso contrário, tomamos [a_{n+1},b_{n+1}]=[m_n,b_n].
\n2) Assim construímos uma sequência de intervalos fechados [a_n,b_n] com as propriedades:
\n- aninhamento: [a_{n+1},b_{n+1}]\subset [a_n,b_n] para todo n;
\n- comprimento decresce exponencialmente: \displaystyle |b_n-a_n|=\frac{b-a}{2^n}.
\n3) Em cada passo mantemos f(a_n)f(b_n)\le 0, logo sempre existe pelo menos uma raiz (pelo teorema do valor intermediário) em cada [a_n,b_n].

Passo 3

Conclusão da convergência do método da bissecção (usando completude dos reais).
\n1) Como os intervalos [a_n,b_n] são fechados, aninhados e os comprimentos tendem a zero, existe exatamente um ponto \alpha na interseção:
\bigcap_{n=0}^{\infty}[a_n,b_n]=\{\alpha\}.
Isto decorre do axioma de completude dos reais (ou propriedade do ponto de corte / teorema de Cantor para intervalos fechados aninhados).
\n2) Definimos a sequência de pontos escolhidos para aproximação, por exemplo os médios m_n. Isso dá uma sequência (m_n) com
|m_n-\alpha|\le \frac{b-a}{2^{n+1}}.
Isto porque \alpha\in[a_n,b_n] e m_n é o centro do intervalo.
\n3) Pelo limite do comprimento dos intervalos obtemos m_n\to\alpha. Como \alpha é limite de pontos em cada intervalo onde f troca de sinal, e f é contínua, temos
f(\alpha)=\lim_{x\to\alpha}f(x)=0.
Portanto o método converge (para alguma raiz \alpha em [a,b]).
\n4) Observação sobre a rapidez: o erro e_n=|m_n-\alpha| satisfaz
e_n\le \frac{b-a}{2^{n+1}},
ou seja o erro é reduzido por um fator 1/2 a cada iteração. Isso mostra convergência linear com taxa de erro assintótica 1/2.

Passo 4

Explicação didática sobre por que o argumento acima é suficiente na prova de bissecção (motivação e como aplicar na prova).
\n1) Ideia central: a bissecção só usa continuidade e troca de sinal; não precisa de derivada nem de outras hipóteses. A sequência de intervalos aninhados com comprimento que vai a zero garante um único ponto comum; a continuidade garante que esse ponto é raiz.
\n2) Em prova de prova de concurso/prova oral: é suficiente escrever (i) construção dos intervalos e que o comprimento é (b-a)/2^n, (ii) aplicar completude para obter \alpha único, (iii) usar continuidade para obter f(\alpha)=0. Acrescente o estimador de erro para mostrar rapidez (ou lentidão): e_n\le (b-a)/2^{n+1}.
\n3) Dica prática: na prova escreva também que se f(m_n)=0 o método termina exatamente; caso contrário mantém-se a propriedade de troca de sinais nos extremos.

Passo 5

Prova do MPF (Teorema do Ponto Fixo) usando \left|\varphi'(x)\right|\le M<1 — demonstração passo a passo.
\n1) Objetivo: provar que a iteração x_{n+1}=\varphi(x_n), com x_0\in I, converge para um único ponto x^\ast que satisfaz \varphi(x^\ast)=x^\ast.
\n2) Primeiro passo técnico: da desigualdade sobre a derivada obtemos que \varphi é Lipschitz com constante M. De fato, pelo Teorema do Valor Médio, para quaisquer x,y\in I existe \xi entre x e y tal que
\varphi(x)-\varphi(y)=\varphi'(\xi)(x-y),
logo, tomando módulo,
|\varphi(x)-\varphi(y)|\le M|x-y|.
Isto mostra que \varphi é uma contração (constante M<1).
\n3) Mostramos agora que a sequência de iterações é Cauchy (e portanto converge). Considere diferenças consecutivas:
|x_{n+1}-x_n|=|\varphi(x_n)-\varphi(x_{n-1})|\le M|x_n-x_{n-1}|.
Pela recorrência:
|x_{n+1}-x_n|\le M^n |x_1-x_0|.
Somando uma série geométrica, para p>n temos
|x_p-x_n|\le \sum_{k=n}^{p-1}|x_{k+1}-x_k|\le |x_1-x_0| \sum_{k=n}^{\infty}M^k=\frac{M^n}{1-M}|x_1-x_0|.
Como M^n\to0 quando n\to\infty, o lado direito tende a zero, portanto (x_n) é Cauchy. Pelo fato de I\subset\mathbb{R} ser completo (ou assumindo I fechado), a sequência converge para algum x^\ast\in I.
\n4) Verificação de que o limite é ponto fixo: pela continuidade de \varphi (implícita por \varphi' existir) temos
x^\ast=\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\varphi(x_n)=\varphi\!\left(\lim_{n\to\infty}x_n\right)=\varphi(x^\ast),
logo x^\ast é ponto fixo.
\n5) Unicidade do ponto fixo: suponha que existam dois pontos fixos p\neq q com \varphi(p)=p e \varphi(q)=q. Então
|p-q|=|\varphi(p)-\varphi(q)|\le M|p-q|.
Como M<1, isso força |p-q|=0, contradição. Logo o ponto fixo é único.
\n6) Estimativa de erro explícita: da desigualdade para diferenças temos também
|x_n-x^\ast| \le \frac{M^n}{1-M}|x_1-x_0|.
Isto dá convergência geométrica (linear) com constante M. Essa desigualdade é útil na prova para garantir taxa de convergência e número de iterações necessário.

Passo 6

Didática sobre o MPF: o papel de \left|\varphi'(x)\right|\le M<1 e comentários práticos.
\n1) Intuição: a condição \left|\varphi'(x)\right|\le M<1 diz que \varphi “contrai” distâncias; portanto pontos iterados vão ficando cada vez mais próximos — é como uma função que “encolhe” o intervalo.
\n2) Importante em provas: além da desigualdade da derivada é preciso afirmar (ou checar) que \varphi(I)\subset I para que as iterações não saiam do intervalo onde a hipótese vale. Sem isso a iteração pode escapar e não convergir.
\n3) Em questões de prova frequentemente basta mostrar que \varphi' existe e \sup_{I}|\varphi'|\le M<1; então explique brevemente a estimativa de erro e a unicidade do fixo.

Passo 7

Análise da ordem de convergência do método da secante — derivação assintótica do expoente.
\n1) Setup e hipóteses: seja \alpha uma raiz simples de f ( f(\alpha)=0, f'(\alpha)\neq0), e suponha f\in C^2 num entorno de \alpha. Denotamos e_n=x_n-\alpha o erro na n-ésima iteração.
\n2) Fórmula do método da secante:
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.
Em termos dos erros e_n (com x_n=\alpha+e_n) queremos obter uma relação assintótica entre e_{n+1},e_n,e_{n-1}.
\n3) Expandir f em séries de Taylor em torno de \alpha. Como f(\alpha)=0, e escrevendo f'(\alpha) e f''(\alpha), temos para x perto de \alpha:
f(x)=f'(\alpha)(x-\alpha)+\frac{f''(\alpha)}{2}(x-\alpha)^2+O((x-\alpha)^3).
Logo, para cada n,
f(x_n)=f'(\alpha)e_n+\frac{f''(\alpha)}{2}e_n^2+O(e_n^3).
Defina o coeficiente
A:=\frac{f''(\alpha)}{2f'(\alpha)}.
Então podemos escrever, dividindo f(x_n) por f'(\alpha),
\frac{f(x_n)}{f'(\alpha)}=e_n + A e_n^2 + O(e_n^3).
Mesma expansão vale para n-1.
\n4) Substituir na fórmula da secante e manipular (apenas termos dominantes até ordem quadrática). Depois de simplificar (detalhe do cálculo abaixo), obtém-se a relação assintótica principal:
e_{n+1}=A\, e_n e_{n-1} + o(e_n e_{n-1}).
Breve justificativa do cálculo: escrever s_n:=\dfrac{f(x_n)}{f'(\alpha)}=e_n+A e_n^2+\cdots. Então
e_{n+1}=e_n - \frac{s_n(e_n-e_{n-1})}{s_n-s_{n-1}}.
Expandindo s_n-s_{n-1}=(e_n-e_{n-1})[1+A(e_n+e_{n-1})+\cdots] e invertendo a série, chega-se a e_{n+1}=A e_n e_{n-1}+ termos de ordem superior. (Se fizer passo a passo com truncamento em termos quadráticos a simplificação cancelará os termos em e_n e e_n^2 deixando o produto e_n e_{n-1} como principal.)
\n5) Determinar a ordem p: suponha que a convergência é do tipo e_{n+1}\sim C e_n^p para alguma constante C e expoente p>1. Assumimos também que, assimptoticamente, existe constante K tal que
e_n \sim K e_{n-1}^p.
Usando a relação assintótica e_{n+1}\approx A e_n e_{n-1}, substituímos a hipótese:
C e_n^p \sim A e_n e_{n-1}.
Escrevendo e_n em termos de e_{n-1} (isto é e_n\sim K e_{n-1}^p) obtemos
C (K e_{n-1}^p)^p \sim A (K e_{n-1}^p) e_{n-1}.
Isto é
C K^p e_{n-1}^{p^2} \sim A K e_{n-1}^{p+1}.
Para que as potências de e_{n-1} batam (já que e_{n-1}\to0), os expoentes devem ser iguais:
p^2 = p+1.
A equação quadrática tem raízes p=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}; descartamos a raiz negativa e ficamos com
p=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,618\ldots
Este número é a razão áurea. Logo o método da secante converge localmente com ordem igual a \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}.
\n6) Observações finais sobre hipóteses e validade:
\n- A derivação é local: precisa-se de f\in C^2 e raiz simples. Se f'(\alpha)=0 a análise muda.
\n- A constante assintótica C pode ser obtida relacionando os coeficientes A, K etc., mas normalmente em provas pede-se apenas o expoente p.

Resposta

O método da bissecção converge: a sequência de intervalos [a_n,b_n] é aninhada com |b_n-a_n|=(b-a)/2^n, existe um único \alpha na interseção e os pontos médios m_n satisfazem m_n\to\alpha e f(\alpha)=0.
Se \left|\varphi'(x)\right|\le M<1 em I e \varphi(I)\subset I, então \varphi é uma contração, a iteração x_{n+1}=\varphi(x_n) converge para o único ponto fixo x^\ast\in I e vale a estimativa |x_n-x^\ast|\le \dfrac{M^n}{1-M}|x_1-x_0|.
O método da secante tem ordem de convergência p=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} (aprox. 1{,}618), sob as hipóteses de raiz simples e f\in C^2 perto da raiz.

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