Prove que o método da bissecção é sempre convergente para funções contínuas com
.
Para o MPF, mostre que se
em um intervalo
, então o método converge.
Analise a ordem de convergência do método da secante.
Prove que o método da bissecção é sempre convergente para funções contínuas com
.
Para o MPF, mostre que se
Analise a ordem de convergência do método da secante.
Prove que o método da bissecção é sempre convergente para funções contínuas com
Passo 1
Enunciado e dados que nos deram (resumido e claro):
\n1) Provar que o método da bissecção é sempre convergente para funções contínuas com . Os dados:
é contínua em
e
.
\n2) Para o Teorema do Ponto Fixo (MPF), mostrar que se em um intervalo
(e assumimos que
), então o método iterativo
converge. Os dados:
é diferenciável em
,
em
, e
.
\n3) Analisar a ordem de convergência do método da secante. Dados implícitos: é suficientemente suave perto da raiz
(pelo menos
perto de
) e
é uma raiz simples (
,
).
\n(Pronto: agora sabemos o que pediram e quais hipóteses usaremos. A resolução começa no Passo 2.)
\n1) Provar que o método da bissecção é sempre convergente para funções contínuas com
\n2) Para o Teorema do Ponto Fixo (MPF), mostrar que se
\n3) Analisar a ordem de convergência do método da secante. Dados implícitos:
\n(Pronto: agora sabemos o que pediram e quais hipóteses usaremos. A resolução começa no Passo 2.)
Passo 2
Prova do método da bissecção — construção e propriedades das subintervalos.
\n1) Definição do método: começamos com tal que
. Em cada iteração definimos o ponto médio
\n1) Definição do método: começamos com
Como
é contínua, por causa do sinal oposto em
e
existe pelo menos uma raiz em
. Então pickamos o subintervalo onde há troca de sinal:
\n- se (ou seja sinais opostos ou
), tomamos
;
\n- caso contrário, tomamos .
\n2) Assim construímos uma sequência de intervalos fechados com as propriedades:
\n- aninhamento: para todo
;
\n- comprimento decresce exponencialmente: .
\n3) Em cada passo mantemos , logo sempre existe pelo menos uma raiz (pelo teorema do valor intermediário) em cada
.
\n- se
\n- caso contrário, tomamos
\n2) Assim construímos uma sequência de intervalos fechados
\n- aninhamento:
\n- comprimento decresce exponencialmente:
\n3) Em cada passo mantemos
Passo 3
Conclusão da convergência do método da bissecção (usando completude dos reais).
\n1) Como os intervalos são fechados, aninhados e os comprimentos tendem a zero, existe exatamente um ponto
na interseção:
\n1) Como os intervalos
Isto decorre do axioma de completude dos reais (ou propriedade do ponto de corte / teorema de Cantor para intervalos fechados aninhados).
\n2) Definimos a sequência de pontos escolhidos para aproximação, por exemplo os médios . Isso dá uma sequência
com
\n2) Definimos a sequência de pontos escolhidos para aproximação, por exemplo os médios
Isto porque
e
é o centro do intervalo.
\n3) Pelo limite do comprimento dos intervalos obtemos . Como
é limite de pontos em cada intervalo onde
troca de sinal, e
é contínua, temos
\n3) Pelo limite do comprimento dos intervalos obtemos
Portanto o método converge (para alguma raiz
em
).
\n4) Observação sobre a rapidez: o erro satisfaz
\n4) Observação sobre a rapidez: o erro
ou seja o erro é reduzido por um fator
a cada iteração. Isso mostra convergência linear com taxa de erro assintótica
.
Passo 4
Explicação didática sobre por que o argumento acima é suficiente na prova de bissecção (motivação e como aplicar na prova).
\n1) Ideia central: a bissecção só usa continuidade e troca de sinal; não precisa de derivada nem de outras hipóteses. A sequência de intervalos aninhados com comprimento que vai a zero garante um único ponto comum; a continuidade garante que esse ponto é raiz.
\n2) Em prova de prova de concurso/prova oral: é suficiente escrever (i) construção dos intervalos e que o comprimento é , (ii) aplicar completude para obter
único, (iii) usar continuidade para obter
. Acrescente o estimador de erro para mostrar rapidez (ou lentidão):
.
\n3) Dica prática: na prova escreva também que se o método termina exatamente; caso contrário mantém-se a propriedade de troca de sinais nos extremos.
\n1) Ideia central: a bissecção só usa continuidade e troca de sinal; não precisa de derivada nem de outras hipóteses. A sequência de intervalos aninhados com comprimento que vai a zero garante um único ponto comum; a continuidade garante que esse ponto é raiz.
\n2) Em prova de prova de concurso/prova oral: é suficiente escrever (i) construção dos intervalos e que o comprimento é
\n3) Dica prática: na prova escreva também que se
Passo 5
Prova do MPF (Teorema do Ponto Fixo) usando
— demonstração passo a passo.
\n1) Objetivo: provar que a iteração , com
, converge para um único ponto
que satisfaz
.
\n2) Primeiro passo técnico: da desigualdade sobre a derivada obtemos que é Lipschitz com constante
. De fato, pelo Teorema do Valor Médio, para quaisquer
existe
entre
e
tal que
\n1) Objetivo: provar que a iteração
\n2) Primeiro passo técnico: da desigualdade sobre a derivada obtemos que
logo, tomando módulo,
Isto mostra que
é uma contração (constante
).
\n3) Mostramos agora que a sequência de iterações é Cauchy (e portanto converge). Considere diferenças consecutivas:
\n3) Mostramos agora que a sequência de iterações é Cauchy (e portanto converge). Considere diferenças consecutivas:
Pela recorrência:
Somando uma série geométrica, para
temos
Como
quando
, o lado direito tende a zero, portanto
é Cauchy. Pelo fato de
ser completo (ou assumindo
fechado), a sequência converge para algum
.
\n4) Verificação de que o limite é ponto fixo: pela continuidade de (implícita por
existir) temos
\n4) Verificação de que o limite é ponto fixo: pela continuidade de
logo
é ponto fixo.
\n5) Unicidade do ponto fixo: suponha que existam dois pontos fixos com
e
. Então
\n5) Unicidade do ponto fixo: suponha que existam dois pontos fixos
Como
, isso força
, contradição. Logo o ponto fixo é único.
\n6) Estimativa de erro explícita: da desigualdade para diferenças temos também
\n6) Estimativa de erro explícita: da desigualdade para diferenças temos também
Isto dá convergência geométrica (linear) com constante
. Essa desigualdade é útil na prova para garantir taxa de convergência e número de iterações necessário.
Passo 6
Didática sobre o MPF: o papel de
e comentários práticos.
\n1) Intuição: a condição diz que
“contrai” distâncias; portanto pontos iterados vão ficando cada vez mais próximos — é como uma função que “encolhe” o intervalo.
\n2) Importante em provas: além da desigualdade da derivada é preciso afirmar (ou checar) que para que as iterações não saiam do intervalo onde a hipótese vale. Sem isso a iteração pode escapar e não convergir.
\n3) Em questões de prova frequentemente basta mostrar que existe e
; então explique brevemente a estimativa de erro e a unicidade do fixo.
\n1) Intuição: a condição
\n2) Importante em provas: além da desigualdade da derivada é preciso afirmar (ou checar) que
\n3) Em questões de prova frequentemente basta mostrar que
Passo 7
Análise da ordem de convergência do método da secante — derivação assintótica do expoente.
\n1) Setup e hipóteses: seja uma raiz simples de
(
,
), e suponha
num entorno de
. Denotamos
o erro na
-ésima iteração.
\n2) Fórmula do método da secante:
\n1) Setup e hipóteses: seja
\n2) Fórmula do método da secante:
Em termos dos erros
(com
) queremos obter uma relação assintótica entre
.
\n3) Expandir em séries de Taylor em torno de
. Como
, e escrevendo
e
, temos para
perto de
:
\n3) Expandir
Logo, para cada
,
Defina o coeficiente
Então podemos escrever, dividindo
por
,
Mesma expansão vale para
.
\n4) Substituir na fórmula da secante e manipular (apenas termos dominantes até ordem quadrática). Depois de simplificar (detalhe do cálculo abaixo), obtém-se a relação assintótica principal:
\n4) Substituir na fórmula da secante e manipular (apenas termos dominantes até ordem quadrática). Depois de simplificar (detalhe do cálculo abaixo), obtém-se a relação assintótica principal:
Breve justificativa do cálculo: escrever
. Então
Expandindo
e invertendo a série, chega-se a
termos de ordem superior. (Se fizer passo a passo com truncamento em termos quadráticos a simplificação cancelará os termos em
e
deixando o produto
como principal.)
\n5) Determinar a ordem : suponha que a convergência é do tipo
para alguma constante
e expoente
. Assumimos também que, assimptoticamente, existe constante
tal que
\n5) Determinar a ordem
Usando a relação assintótica
, substituímos a hipótese:
Escrevendo
em termos de
(isto é
) obtemos
Isto é
Para que as potências de
batam (já que
), os expoentes devem ser iguais:
A equação quadrática tem raízes
; descartamos a raiz negativa e ficamos com
Este número é a razão áurea. Logo o método da secante converge localmente com ordem igual a
.
\n6) Observações finais sobre hipóteses e validade:
\n- A derivação é local: precisa-se de e raiz simples. Se
a análise muda.
\n- A constante assintótica pode ser obtida relacionando os coeficientes
,
etc., mas normalmente em provas pede-se apenas o expoente
.
\n6) Observações finais sobre hipóteses e validade:
\n- A derivação é local: precisa-se de
\n- A constante assintótica
Resposta
O método da bissecção converge: a sequência de intervalos
é aninhada com
, existe um único
na interseção e os pontos médios
satisfazem
e
.
Se em
e
, então
é uma contração, a iteração
converge para o único ponto fixo
e vale a estimativa
.
O método da secante tem ordem de convergência (aprox.
), sob as hipóteses de raiz simples e
perto da raiz.
Se
O método da secante tem ordem de convergência