Para cada uma das permutações abaixo, escreva sua decomposição cíclica e determine sua paridade.
\left(\begin{array}{ccccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\\\ 4 & 1 & 8 & 9 & 10 & 2 & 11 & 5 & 6 & 3 & 7 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá uma permutação em notação de duas linhas e pede duas coisas:
  • escrever a decomposição cíclica dessa permutação;
  • determinar a paridade (se é par ou ímpar).
A permutação fornecida mapeia os elementos 1,\dots,11 da seguinte forma (peguei estes pares do enunciado):
\begin{array}{c} 1\mapsto4,\\[2pt] 2\mapsto1,\\[2pt] 3\mapsto8,\\[2pt] 4\mapsto9,\\[2pt] 5\mapsto10,\\[2pt] 6\mapsto2,\\[2pt] 7\mapsto11,\\[2pt] 8\mapsto5,\\[2pt] 9\mapsto6,\\[2pt] 10\mapsto3,\\[2pt] 11\mapsto7. \end{array}
As perguntas claras são:
  • Qual é a decomposição em ciclos disjuntos?
  • A permutação é par ou ímpar?]

Passo 2

O que é decomposição cíclica e como vamos proceder (explicação didática):
  • Um ciclo (a_1\\ a_2\\ \dots\\ a_k) representa a permutação que envia a_1\mapsto a_2, a_2\mapsto a_3, \dots, a_{k-1}\mapsto a_k, a_k\mapsto a_1.
  • Para decompor uma permutação dada em duas linhas, procedemos pegando um elemento não ainda colocado em algum ciclo, seguimos sua imagem, depois a imagem dessa imagem, etc., até voltarmos ao elemento inicial — isso forma um ciclo. Repetimos com o menor elemento restante até cobrir todos.
  • Vou usar essa estratégia passo a passo, mostrando cada imagem explicitamente, para você poder replicar isso na prova sem erro.

Passo 3

Começo pelo menor elemento 1 (a técnica usual: pegar o menor ainda não usado).
  • \;1\mapsto4 (pegado da tabela).
  • \;4\mapsto9.
  • \;9\mapsto6.
  • \;6\mapsto2.
  • \;2\mapsto1, que nos traz de volta ao início.
    Portanto os elementos visitados formam o ciclo
(1\\\ 4\\\ 9\\\ 6\\\ 2).
Isto significa exatamente: 1\mapsto4,\;4\mapsto9,\;9\mapsto6,\;6\mapsto2,\;2\mapsto1.

Passo 4

Agora escolho o menor elemento que ainda não apareceu no ciclo anterior: 3.
  • \;3\mapsto8.
  • \;8\mapsto5.
  • \;5\mapsto10.
  • \;10\mapsto3, volta ao início.
    Portanto obtemos o ciclo
(3\\\ 8\\\ 5\\\ 10).

Passo 5

Restam os elementos 7 e 11 (a maioria já foi usada). Pegando 7:
  • \;7\mapsto11.
  • \;11\mapsto7, voltamos ao início.
    Isso forma o ciclo
(7\\\ 11).

Passo 6

Temos agora ciclos disjuntos que cobrem todos os elementos 1 a 11:
(1\\\ 4\\\ 9\\\ 6\\\ 2),\qquad (3\\\ 8\\\ 5\\\ 10),\qquad (7\\\ 11).
Como são disjuntos, a permutação é o produto (composição) desses ciclos; a ordem entre ciclos disjuntos não importa.

Passo 7

Agora a paridade — explicação didática:
  • Qualquer ciclo de comprimento k pode ser escrito como produto de k-1 transposições (transposição = troca de dois elementos). Por exemplo, um 4‑ciclo tem a identidade
(a\\ b\\ c\\ d)=(a\\ d)(a\\ c)(a\\ b),
ou seja, 4-ciclo = 3 transposições.
  • Assim, se escrevemos a permutação como produto de ciclos disjuntos, o número total de transposições necessário é a soma de (k-1) sobre todos os ciclos de comprimento k.
  • A permutação é par se esse número total for par, e ímpar se for ímpar.

Passo 8

Aplicando isso aos nossos ciclos:
  • O ciclo (1\\\ 4\\\ 9\\\ 6\\\ 2) tem comprimento 5, contribui com 5-1=4 transposições.
  • O ciclo (3\\\ 8\\\ 5\\\ 10) tem comprimento 4, contribui com 4-1=3 transposições.
  • O ciclo (7\\\ 11) tem comprimento 2, contribui com 2-1=1 transposição.
    Somando:
4+3+1=8.
O número total de transposições é 8, que é par. Portanto a permutação é par.

Passo 9

Recapitulando de forma direta:
  • Decomposição cíclica em ciclos disjuntos: (1\\\ 4\\\ 9\\\ 6\\\ 2)(3\\\ 8\\\ 5\\\ 10)(7\\\ 11).
  • Número total de transposições na decomposição mínima: 8 (par), logo a permutação é par.

Resposta

(1\\\ 4\\\ 9\\\ 6\\\ 2)(3\\\ 8\\\ 5\\\ 10)(7\\\ 11)
A permutação é par.

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