Um capacitor ciĺndrico consiste em um núcleo condutor maciço, com raio de 0,215 \mathrm{~cm}, cercado por um tubo condutor oco externo. Os dois condutores estão separados por ar, e o comprimento do cilindro é igual a 10,5 \mathrm{~cm}. A capacitância é 31,9 \mathrm{pF}. (a) Calcule o raio interno do tubo oco. (b) Quando o capacitor é carregado com 108 V , qual é a carga por unidade de comprimento l do capacitor?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e fornece os dados abaixo.
O que se pede:
  • (a) Calcular o raio interno do tubo oco externo (ou seja, o raio interno do condutor externo).
  • (b) Quando o capacitor é carregado a \,108\\ \mathrm{V}, encontrar a carga por unidade de comprimento l do capacitor (isto é, \lambda = Q/L).
Dados fornecidos:
  • Raio do núcleo condutor maciço: \,a=0,215\\ \mathrm{cm}.
  • Comprimento do capacitor: \,L=10,5\\ \mathrm{cm}.
  • Capacitância total: \,C=31,9\\ \mathrm{pF}.
  • Tensão aplicada (para a parte b): \,V=108\\ \mathrm{V}.
  • O meio entre os condutores é ar (usamos a permissividade do vácuo/ ar): \,\varepsilon_0=8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
Observação de unidades: vou converter tudo para unidades SI (metros, farads, etc.) antes de calcular.

Passo 2

Conceito e fórmula do capacitor coaxial — aula rápida e derivação curta.
Um capacitor cilíndrico coaxial (núcleo de raio a e condutor externo interno de raio b, com comprimento L) tem a capacitância dada por
C=\frac{2\pi\varepsilon_0 L}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}.
Vou explicar de onde vem essa fórmula de forma didática.
  1. Campo elétrico entre os cilindros: supondo que o condutor interno tem densidade linear de carga \lambda (carga por comprimento), por simetria cilíndrica, o módulo do campo elétrico a uma distância radial r (com a<r<b) é, pela Lei de Gauss,
E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}.
Aqui \lambda é a carga por unidade de comprimento (C/m), \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo (F/m), e r é a coordenada radial.
  1. Diferença de potencial entre os condutores: integra-se o campo radial entre a e b,
V=\int_a^b E(r)\,dr=\int_a^b \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}\,dr=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{b}{a}\right).
  1. Definição de capacitância: C=Q/V, e como Q=\lambda L, obtemos
C=\frac{\lambda L}{V}=\frac{\lambda L}{\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}=\frac{2\pi\varepsilon_0 L}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}.
Nessa fórmula:
  • C é a capacitância total (F),
  • L é o comprimento efetivo (m),
  • a e b são os raios interno e externo (m),
  • \varepsilon_0 é a permissividade (F/m).

Passo 3

Preparação numérica: converter unidades para SI.
  • Raio interno do núcleo: \,a=0{,}215\\ \mathrm{cm}=0{,}215\times10^{-2}\\ \mathrm{m}=0{,}00215\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento: \,L=10{,}5\\ \mathrm{cm}=0{,}105\\ \mathrm{m}.
  • Capacitância: \,C=31{,}9\\ \mathrm{pF}=31{,}9\times10^{-12}\\ \mathrm{F}=3{,}19\times10^{-11}\\ \mathrm{F}.
  • Permissividade: \,\varepsilon_0=8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
Vou usar a fórmula do passo 2 para isolar b.

Passo 4

Isolar \,b da expressão da capacitância e organizar para cálculo.
Da fórmula
C=\frac{2\pi\varepsilon_0 L}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)},
isolamos \ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right):
\ln\!\left(\frac{b}{a}\right)=\frac{2\pi\varepsilon_0 L}{C}.
Tomando exponencial em ambos os lados:
b = a\exp\!\left(\frac{2\pi\varepsilon_0 L}{C}\right).
Agora vamos calcular numericamente o expoente \dfrac{2\pi\varepsilon_0 L}{C}.

Passo 5

Cálculo numérico do expoente.
Computei passo a passo:
2\pi\varepsilon_0 L = 2\pi\cdot(8{,}854\times10^{-12})\cdot0{,}105.
Vamos avaliar numericamente:
2\pi\varepsilon_0 L \approx 6{,}283185307\cdot 8{,}854\times10^{-12}\cdot0{,}105 \approx 5{,}844689\times10^{-12}.
Agora dividir por C:
\frac{2\pi\varepsilon_0 L}{C}\approx\frac{5{,}844689\times10^{-12}}{31{,}9\times10^{-12}} \approx 0{,}183217.

Passo 6

Calcular b usando o expoente encontrado.
b = a\exp(0{,}183217).
Avaliação:
\exp(0{,}183217)\approx 1{,}2001,
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b \approx 0{,}00215\\ \mathrm{m}\times 1{,}2001 \approx 0{,}002580\\ \mathrm{m}.
Converter para centímetros:
b \approx 0{,}2580\\ \mathrm{cm}.
Esse é o raio interno do tubo condutor externo (valor pedido na parte (a)).

Passo 7

Agora parte (b): carga por unidade de comprimento \lambda quando V=108\\ \mathrm{V}.
Método direto (mais simples na prova): usar Q=CV e depois \lambda=Q/L. Vou mostrar ambos (direto e usando campo), para te dar segurança.
  1. Direto:
Q = C\,V = 31{,}9\times10^{-12}\\ \mathrm{F}\times 108\\ \mathrm{V} = 3{,}4452\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.
Então
\lambda=\frac{Q}{L}=\frac{3{,}4452\times10^{-9}\\ \mathrm{C}}{0{,}105\\ \mathrm{m}} \approx 3{,}2811\times10^{-8}\\ \mathrm{C/m}.
  1. Verificação usando a expressão obtida na derivação (consistente):
\lambda = \frac{2\pi\varepsilon_0 V}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}.
Substituindo V e \ln(b/a)\approx0{,}183217,
\lambda \approx \frac{2\pi\cdot8{,}854\times10^{-12}\cdot108}{0{,}183217}\approx 3{,}28\times10^{-8}\\ \mathrm{C/m},
mesmo resultado (boa checagem).

Passo 8

Arredondamentos finais e interpretação numérica amigável.
  • Raio interno do tubo externo: b\approx0{,}258\\ \mathrm{cm} (ou 2{,}58\\ \mathrm{mm}).
  • Carga por unidade de comprimento quando V=108\\ \mathrm{V}: \lambda\approx 3{,}28\times10^{-8}\\ \mathrm{C/m}, que é igual a 32{,}8\\ \mathrm{nC/m}.

Resposta

(a) \,b\approx0{,}258\\ \mathrm{cm}.\n(b) \,\lambda\approx3{,}28\times10^{-8}\\ \mathrm{C/m}

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