Um capacitor ciĺndrico consiste em um núcleo condutor maciço, com raio de
, cercado por um tubo condutor oco externo. Os dois condutores estão separados por ar, e o comprimento do cilindro é igual a
. A capacitância é
. (a) Calcule o raio interno do tubo oco. (b) Quando o capacitor é carregado com 108 V , qual é a carga por unidade de comprimento
do capacitor?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e fornece os dados abaixo.
O que se pede:
- (a) Calcular o raio interno do tubo oco externo (ou seja, o raio interno do condutor externo).
- (b) Quando o capacitor é carregado a
, encontrar a carga por unidade de comprimento do capacitor (isto é, ).
Dados fornecidos:
- Raio do núcleo condutor maciço:
. - Comprimento do capacitor:
. - Capacitância total:
. - Tensão aplicada (para a parte b):
. - O meio entre os condutores é ar (usamos a permissividade do vácuo/ ar):
.
Observação de unidades: vou converter tudo para unidades SI (metros, farads, etc.) antes de calcular.
Passo 2
Conceito e fórmula do capacitor coaxial — aula rápida e derivação curta.
Um capacitor cilíndrico coaxial (núcleo de raio
e condutor externo interno de raio
, com comprimento
) tem a capacitância dada por
Vou explicar de onde vem essa fórmula de forma didática.
- Campo elétrico entre os cilindros: supondo que o condutor interno tem densidade linear de carga
(carga por comprimento), por simetria cilíndrica, o módulo do campo elétrico a uma distância radial (com ) é, pela Lei de Gauss,
Aqui
é a carga por unidade de comprimento (C/m),
é a permissividade do vácuo (F/m), e
é a coordenada radial.
- Diferença de potencial entre os condutores: integra-se o campo radial entre
e ,
- Definição de capacitância:
, e como , obtemos
Nessa fórmula:
-
é a capacitância total (F), -
é o comprimento efetivo (m), -
e são os raios interno e externo (m), -
é a permissividade (F/m).
Passo 3
Preparação numérica: converter unidades para SI.
- Raio interno do núcleo:
- Comprimento:
- Capacitância:
- Permissividade:
Vou usar a fórmula do passo 2 para isolar
.
Passo 4
Isolar
da expressão da capacitância e organizar para cálculo.
Da fórmula
isolamos
:
Tomando exponencial em ambos os lados:
Agora vamos calcular numericamente o expoente
.
Passo 5
Cálculo numérico do expoente.
Computei passo a passo:
Vamos avaliar numericamente:
Agora dividir por
:
Passo 6
Calcular
usando o expoente encontrado.
Avaliação:
logo
Converter para centímetros:
Esse é o raio interno do tubo condutor externo (valor pedido na parte (a)).
Passo 7
Agora parte (b): carga por unidade de comprimento
quando
.
Método direto (mais simples na prova): usar
e depois
. Vou mostrar ambos (direto e usando campo), para te dar segurança.
- Direto:
Então
- Verificação usando a expressão obtida na derivação (consistente):
Substituindo
e
,
mesmo resultado (boa checagem).
Passo 8
Arredondamentos finais e interpretação numérica amigável.
- Raio interno do tubo externo:
(ou ). - Carga por unidade de comprimento quando
: , que é igual a .
Resposta
(a)
\n(b)