Cada plano perpendicular ao eixo x intercepta um certo sólido numa secção transversal circular cujo diâmetro está no plano x y e estende-se de y=x^2 a y=8-x^2. O sólido está entre os pontos de intersecção dessas curvas. Calcule seu volume.
21. Cada integral abaixo representa o volume de um sólido de revolução. Esboce a região plana e determine o eixo de revolução e o método utilizado para o cálculo do volume.

Passo 1

O enunciado principal pede o volume de um sólido cujas secções transversais perpendiculares ao eixo x são círculos de diâmetro no plano xy que vai de y=x^2 até y=8 - x^2, limitado entre os pontos de interseção dessas curvas. A parte 21 não pode ser resolvida porque as integrais correspondentes não foram fornecidas.

Passo 2

Para achar o intervalo de x, resolvemos
x^2 = 8 - x^2
que dá
2x^2 = 8 Longrightarrow x^2 = 4 Longrightarrow x = -2,;2

Passo 3

Em cada xin[-2,2] o diâmetro do círculo é
D(x) = l(8 - x^2r) - x^2 = 8 - 2x^2,
logo o raio é
R(x) = D(x)2 = 4 - x^2

Passo 4

A área da secção transversal vale
A(x) = pi l[R(x)r]^2 = pi,(4 - x^2)^2

Passo 5

O volume é dado pela integral
V = integral-2^2 A(x),dx = pi integral-2^2 (4 - x^2)^2,dx

Passo 6

Expandindo e integrando term a term:
(4 - x^2)^2 = 16 - 8x^2 + x^4,
integral-2^216,dx = 32, integral-2^2-8x^2,dx = -8cdot163 = -1283, integral-2^2x^4,dx = 645
Somando com denominador comum 15:
32 = 48015, -1283 = -64015, 645 = 19215,
480 - 640 + 19215 = 3215cdot16 = 51215
Portanto
V = picdot51215 = 512pi15

Resposta

O volume do sólido é
V = 512pi15
A parte 21 não pode ser resolvida pois as integrais não foram fornecidas.

Exercícios relacionados