Resolva, indicando a região do plano onde a solução é válida:

Passo 1

O enunciado dá a PDE de primeira ordem
3,ux - 4,uy = x^2
com condição inicial ao longo da reta y=tfrac34x:
ul(x,tfrac34xr)=tfrac19x^3,
O conteúdo é o método das características.

Passo 2

Escrevemos as equações características
dx3=dy-4=dux^2
Da relação tfracdydx=-tfrac43 segue
4,dx+3,dy=0implies 4x+3y=k(constante ao longo da característica) í

Passo 3

Para obter u em função de x e do invariante k, use
dudx=du/dsdx/ds=x^23implies u=integralx^23,dx+F(k) =x^39+F(4x+3y)

Passo 4

Na condição inicial y=tfrac34x temos
k=4x+3l(tfrac34xr)=tfrac254x, ul(x,tfrac34xr)=x^39+Fl(tfrac254xr) =x^39
Logo Fequiv0 e
u(x,y)=x^39

Passo 5

A reta inicial não é característica (sua inclinação 3/4 difere de -4/3), logo há solução única que, extendendo as características, vale em toda região alcançável — neste caso, todo R^2.

Resposta

u(x,y)=x^39,válida para todo (x,y)inR^2 á

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