Cada integral abaixo representa o volume de um sólido de revolução. Esboce a região plana e determine o eixo de revolução e o método utilizado para o cálculo do volume.
Passo 1
O enunciado nos dá a integral
que representa o volume obtido ao girar uma certa região plana em torno de um eixo vertical. Para resolver, precisamos (1) identificar a região no plano , (2) descobrir qual é o eixo de revolução, e (3) escolher o método de cálculo de volume adequado.
Passo 2
A região é limitada pelas curvas
e pelas retas verticais
Como em temos , é o conjunto
No esboço, traçamos as duas curvas e marcamos a faixa entre e .
Passo 3
O fator dentro da integral indica que a distância de cada fatia vertical até o eixo de revolução é
Como x varia de 0 a pi/4<pi, a distância é simplesmente pi - x. Isso mostra que o eixo de rotação é a reta vertical
x=pi
Passo 4
A forma geral
2piintegral (raio)times(a<ura),dx
é exatamente a fórmula do método das cascas cilíndricas (ou método dos cilindros): cada “casca” tem raio pi - x e altura igual à diferença das curvas, isto é,
a<ura = cos x - sin x
Portanto, o método adequado para calcular esse volume é o método das cascas cilíndricas.
Resposta
Região plana R: (x,y)mid 0<= x<=pi/4, sin x<= y<=cos x.
Eixo de revolução: reta vertical x=pi.
Método utilizado: método das cascas cilíndricas.