Cada integral abaixo representa o volume de um sólido de revolução. Esboce a região plana e determine o eixo de revolução e o método utilizado para o cálculo do volume.
integral0^pi / 4 2 pi(pi-x)(cos x-sin x) d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
integral0^pi/42pi,(pi - x),l(cos x - sin xr),dx
que representa o volume obtido ao girar uma certa região plana em torno de um eixo vertical. Para resolver, precisamos (1) identificar a região R no plano xy, (2) descobrir qual é o eixo de revolução, e (3) escolher o método de cálculo de volume adequado.

Passo 2

A região R é limitada pelas curvas
y = cos x, y = sin x
e pelas retas verticais
x=0, x=tfracpi4
Como em [0,pi/4] temos cos x>=sin x, R é o conjunto
R=l(x,y)mid 0<= x<=tfracpi4, sin x<= y<=cos xr
No esboço, traçamos as duas curvas e marcamos a faixa entre x=0 e x=pi/4.

Passo 3

O fator pi - x dentro da integral indica que a distância de cada fatia vertical até o eixo de revolução é
raio = l|pi - xr|
Como x varia de 0 a pi/4<pi, a distância é simplesmente pi - x. Isso mostra que o eixo de rotação é a reta vertical
x=pi

Passo 4

A forma geral
2piintegral (raio)times(a<ura),dx
é exatamente a fórmula do método das cascas cilíndricas (ou método dos cilindros): cada “casca” tem raio pi - x e altura igual à diferença das curvas, isto é,
a<ura = cos x - sin x
Portanto, o método adequado para calcular esse volume é o método das cascas cilíndricas.

Resposta

Região plana R: (x,y)mid 0<= x<=pi/4, sin x<= y<=cos x.
Eixo de revolução: reta vertical x=pi.
Método utilizado: método das cascas cilíndricas.

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