(cada 0 , 1 ponto) Para cada afirmação a seguir:
  • se for verdadeira dê um exemplo de sua aplicação (numérico ou genérico)
  • se for falsa, justifique de modo descritivo ou com um contraexemplo.
Caso dois ou mais alunos apresentarem as mesmas palavras (mais de 90 % de similaridade) e/ou os mesmos exemplos numéricos como resposta, os envolvidos terão as respostas anuladas.
(a) Se o número de equações de um sistema linear exceder o número de incógnitas, então o sistema deve ser inconsistente.
(b) Se a soma de matrizes A B+B A estiver definida, então A e B devem ser matrizes quadradas de mesmo tamanho.
(c) Cada matriz tem uma única forma escalonada por linhas.
(d) Para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesmo tamanho, vale A^2-B^2=(A-B)(A+B).
(e) Nem toda matriz elementar é invertível.
(f) Sendo A matriz quadrada com A x=b tendo uma única solução, então o sistema A y=c também tem única solução.
(g) A transposta de uma matriz diagonal também é diagonal.
(h) O menor Mi j é igual ao cofator Ci j se, e só se, i+j for ímpar.
(i) Se A for uma matriz quadrada com duas colunas idênticas, então det(A)=0.
(j) Se A for uma matriz quadrada e o sistema A x=b tem solução única, então det(A)=0.

Passo 1

O enunciado apresenta dez afirmações sobre sistemas lineares, matrizes e determinantes, e pede que, para cada afirmação, indiquemos se é verdadeira (com um exemplo) ou falsa (com justificativa ou contraexemplo). O conteúdo envolve consistência de sistemas, definição de soma de matrizes, forma escalonada por linhas, fatoração de matrizes, matrizes elementares, unicidade de solução, transposta, menores e cofatores, e propriedades de determinante.

Passo 2

(a) A afirmação é falsa. Ter mais equações do que incógnitas não impede consistência se algumas equações forem redundantes.
Contraexemplo: o sistema
x + y = 1, 2x + 2y = 2, 3x + 3y = 3
tem 3 equações e 2 incógnitas, mas todas as equações são múltiplos umas das outras, e a solução geral é
(x,y)mid x+y=1, logo consistente.

Passo 3

(b) A afirmação é verdadeira. Para que AB e BA existam e a soma AB + BA faça sentido, precisamos de
AinR^mtimes n, BinR^ntimes m,
para que AB seja mtimes m e BA seja ntimes n. Exigir AB e BA do mesmo tamanho força m=n, isto é, A e B são quadradas de mesmo tamanho.
Exemplo genérico: A,BinR^3times3.

Passo 4

(c) A afirmação é falsa. A forma escalonada por linhas não é única, pois depende da sequência de operações e se normalizamos ou não pivôs.
Contraexemplo:
A=1&12&2
— Eliminando direto R2 R2-2R1, obtemos
1&10&0
— Se trocarmos primeiro R1rightarrow R2 e depois fizermos R2 R2-tfrac12R1, obtemos
2&20&0
Ambas são formas escalonadas mas diferentes.

Passo 5

(d) A afirmação é falsa em geral, pois a fatoração A^2 - B^2=(A-B)(A+B) exige comutatividade ( AB=BA).
Contraexemplo:
A=0&10&0, B=0&01&0
Calcula-se
A^2=0, B^2=0, AB=1&00&0, BA=0&00&1,
logo
LHS=A^2-B^2=0, RHS=(A-B)(A+B)=AB-BAneq0

Passo 6

(e) A afirmação é falsa. Toda matriz elementar corresponde a uma operação elementar reversível, logo cada matriz elementar é invertível. Não existe matriz elementar não invertível.

Passo 7

(f) A afirmação é verdadeira. Se Ax=b tem solução única, então A é invertível. Assim, para qualquer c, a solução de Ay=c é y=A^-1c, também única.

Passo 8

(g) A afirmação é verdadeira. Se D é diagonal, então Dij=0 sempre que ineq j. Na transposta, (D^T)ij=Dji, que também é zero para ineq j.
Exemplo:
D=5&0&00&3&00&0&-1 Longrightarrow D^T=5&0&00&3&00&0&-1,
diagonal.

Passo 9

(h) A afirma7e3o e9 falsa. O cofator e9 Cij=(-1)^i+jMij. Portanto Cij=Mij ocorre se e somente se (-1)^i+j=1, i.e.\ i+j e9 par, ne3o edmpar.

Passo 10

(i) A afirmação é verdadeira. Duas colunas idênticas tornam as colunas linearmente dependentes, e det(A)=0.
Exemplo:
A=1&2&20&3&35&7&7
tem 2ª e 3ª colunas iguais, logo det(A)=0.

Passo 11

(j) A afirma7e3o e9 falsa. Se Ax=b tem solue7e3o fanica, ente3o A e9 invertedvel e det(A)neq0.

Resposta

(a) Falsa, ex.:
,x+y=1,;2x+2y=2,;3x+3y=3 é consistente.
(b) Verdadeira, ex.: A,BinR^ntimes n.
(c) Falsa, ex.:
1&12&2 gera
1&10&0 ou
2&20&0.
(d) Falsa, contraex.:
A=0&10&0,B=0&01&0.
(e) Falsa, pois toda matriz elementar é invertível.
(f) Verdadeira, pois A é invertível.
(g) Verdadeira, transposta de diagonal é diagonal.
(h) Falsa, Cij=(-1)^i+jMij igual a Mij se i+j é par.
(i) Verdadeira, colunas iguais Rightarrow det=0.
(j) Falsa, solução única Rightarrow A invertível Rightarrow det(A)neq0.

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