se for verdadeira dê um exemplo de sua aplicação (numérico ou genérico)
se for falsa, justifique de modo descritivo ou com um contraexemplo.
Caso dois ou mais alunos apresentarem as mesmas palavras (mais de de similaridade) e/ou os mesmos exemplos numéricos como resposta, os envolvidos terão as respostas anuladas.
(a) Se o número de equações de um sistema linear exceder o número de incógnitas, então o sistema deve ser inconsistente.
(b) Se a soma de matrizes estiver definida, então e devem ser matrizes quadradas de mesmo tamanho.
(c) Cada matriz tem uma única forma escalonada por linhas.
(d) Para quaisquer matrizes quadradas e de mesmo tamanho, vale .
(e) Nem toda matriz elementar é invertível.
(f) Sendo matriz quadrada com tendo uma única solução, então o sistema também tem única solução.
(g) A transposta de uma matriz diagonal também é diagonal.
(h) menor é igual ao cofator se, e só se, for ímpar.
(i) Se for uma matriz quadrada com duas colunas idênticas, então .
(j) Se for uma matriz quadrada e o sistema tem solução única, então .
Passo 1
O enunciado apresenta dez afirmações sobre sistemas lineares, matrizes e determinantes, e pede que, para cada afirmação, indiquemos se é verdadeira (com um exemplo) ou falsa (com justificativa ou contraexemplo). O conteúdo envolve consistência de sistemas, definição de soma de matrizes, forma escalonada por linhas, fatoração de matrizes, matrizes elementares, unicidade de solução, transposta, menores e cofatores, e propriedades de determinante.
Passo 2
(a) A afirmação é falsa. Ter mais equações do que incógnitas não impede consistência se algumas equações forem redundantes.
Contraexemplo: o sistema
tem 3 equações e 2 incógnitas, mas todas as equações são múltiplos umas das outras, e a solução geral é (x,y)mid x+y=1, logo consistente.
Passo 3
(b) A afirmação é verdadeira. Para que AB e BA existam e a soma AB + BA faça sentido, precisamos de
AinR^mtimes n, BinR^ntimes m,
para que AB seja mtimes m e BA seja ntimes n. Exigir AB e BA do mesmo tamanho força m=n, isto é, A e B são quadradas de mesmo tamanho.
Exemplo genérico: A,BinR^3times3.
Passo 4
(c) A afirmação é falsa. A forma escalonada por linhas não é única, pois depende da sequência de operações e se normalizamos ou não pivôs.
Contraexemplo:
A=1&12&2
— Eliminando direto R2 R2-2R1, obtemos
1&10&0
— Se trocarmos primeiro R1rightarrow R2 e depois fizermos R2 R2-tfrac12R1, obtemos
2&20&0
Ambas são formas escalonadas mas diferentes.
Passo 5
(d) A afirmação é falsa em geral, pois a fatoração A^2 - B^2=(A-B)(A+B) exige comutatividade (AB=BA).
Contraexemplo:
A=0&10&0, B=0&01&0
Calcula-se
A^2=0, B^2=0, AB=1&00&0, BA=0&00&1,
logo
LHS=A^2-B^2=0, RHS=(A-B)(A+B)=AB-BAneq0
Passo 6
(e) A afirmação é falsa. Toda matriz elementar corresponde a uma operação elementar reversível, logo cada matriz elementar é invertível. Não existe matriz elementar não invertível.
Passo 7
(f) A afirmação é verdadeira. Se Ax=b tem solução única, então A é invertível. Assim, para qualquer c, a solução de Ay=c é y=A^-1c, também única.
Passo 8
(g) A afirmação é verdadeira. Se D é diagonal, então Dij=0 sempre que ineq j. Na transposta, (D^T)ij=Dji, que também é zero para ineq j.
Exemplo:
(h) A afirma7e3o e9 falsa. O cofator e9 Cij=(-1)^i+jMij. Portanto Cij=Mij ocorre se e somente se (-1)^i+j=1, i.e.\ i+j e9 par, ne3o edmpar.
Passo 10
(i) A afirmação é verdadeira. Duas colunas idênticas tornam as colunas linearmente dependentes, e det(A)=0.
Exemplo:
A=1&2&20&3&35&7&7
tem 2ª e 3ª colunas iguais, logo det(A)=0.
Passo 11
(j) A afirma7e3o e9 falsa. Se Ax=b tem solue7e3o fanica, ente3o A e9 invertedvel e det(A)neq0.
Resposta
(a) Falsa, ex.: ,x+y=1,;2x+2y=2,;3x+3y=3 é consistente.
(b) Verdadeira, ex.: A,BinR^ntimes n.
(c) Falsa, ex.: 1&12&2 gera 1&10&0 ou 2&20&0.
(d) Falsa, contraex.: A=0&10&0,B=0&01&0.
(e) Falsa, pois toda matriz elementar é invertível.
(f) Verdadeira, pois A é invertível.
(g) Verdadeira, transposta de diagonal é diagonal.
(h) Falsa, Cij=(-1)^i+jMij igual a Mij se i+j é par.
(i) Verdadeira, colunas iguais Rightarrow det=0.
(j) Falsa, solução única Rightarrow A invertível Rightarrow det(A)neq0.