Obetenha as soluções dos sistemas lineares abaixo usando o método de Gauss-Jordan
d)
llx1+2 x2+3 x3+4 x4+5 x5+6 x6+7 x7+8 x8 & =1 2 x1+3 x2+4 x3+5 x4+6 x5+7 x6+8 x7+x8 & =2 3 x1+4 x2+5 x3+6 x4+7 x5+8 x6+x7+2 x8 & =3 4 x1+5 x2+6 x3+7 x4+8 x5+x6+2 x7+3 x8 & =4 5 x1+6 x2+7 x3+8 x4+x5+2 x6+3 x7+4 x8 & =5 6 x1+7 x2+8 x3+x4+2 x5+3 x6+4 x7+5 x8 & =6 7 x1+8 x2+x3+2 x4+3 x5+4 x6+5 x7+6 x8 & =7 8 x1+x2+2 x3+3 x4+4 x5+5 x6+6 x7+7 x8 & =8

Passo 1

Temos o sistema linear de 8 equações e 8 incógnitas dado por
x1+2x2+3x3+4x4+5x5+6x6+7x7+8x8=1, 2x1+3x2+4x3+5x4+6x5+7x6+8x7+x8=2, 3x1+4x2+5x3+6x4+7x5+8x6+x7+2x8=3, 4x1+5x2+6x3+7x4+8x5+x6+2x7+3x8=4, 5x1+6x2+7x3+8x4+x5+2x6+3x7+4x8=5, 6x1+7x2+8x3+x4+2x5+3x6+4x7+5x8=6, 7x1+8x2+x3+2x4+3x5+4x6+5x7+6x8=7, 8x1+x2+2x3+3x4+4x5+5x6+6x7+7x8=8
O conteúdo é eliminação de Gauss–Jordan para obter a solução.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada l[Amid br]:
[cccccccc|c 1&2&3&4&5&6&7&8&1 2&3&4&5&6&7&8&1&2 3&4&5&6&7&8&1&2&3 4&5&6&7&8&1&2&3&4 5&6&7&8&1&2&3&4&5 6&7&8&1&2&3&4&5&6 7&8&1&2&3&4&5&6&7 8&1&2&3&4&5&6&7&8 ]
Note que cada linha é uma rotação da primeira e o vetor b=(1,2,dots,8)^T coincide com ela.

Passo 3

Aplicamos as operações de linha
R2 R2-R1,; R3 R3-R2^(orig),;dots,; R8 R8-R7^(orig)
O sistema equivalente vira
x1+2x2+cdots+8x8=1, x1+cdots+x7-7x8=1, x1+cdots+x6-7x7+x8=1, x1+cdots+x5-7x6+x7+x8=1, x1+cdots+x4-7x5+x6+x7+x8=1, x1+x2+x3-7x4+x5+x6+x7+x8=1, x1+x2-7x3+x4+x5+x6+x7+x8=1, x1-7x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8=1

Passo 4

Somando todas as equações originais vem
36sumj=1^8xj ;=;1+2+cdots+8=36 Longrightarrow sumj=1^8xj=1
Agora, da última equação do sistema reduzido, usando sumj=1^8xj=1, obtemos
x1-7x2+l(x3+cdots+x8r)=1 ;Longrightarrow; (1-x2)-7x2=1 ;Longrightarrow; x2=0
De modo análogo, as penúltimas equações dão
x3=0,;x4=0,;x5=0,;x6=0,;x7=0,;x8=0

Passo 5

Por fim, como sumj=1^8xj=1 e x2=cdots=x8=0, concluímos
x1=1

Resposta

x1=1, x2=0, x3=0, x4=0, x5=0, x6=0, x7=0, x8=0

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