1^a (1,0 PONTO): Determinar uma transformação linear T: R^3 R^4 tal que:
Im T=[(1,1,2,1),(2,1,0,1)]

Passo 1

O enunciado pede para construirmos uma transformação linear
T:R^3toR^4
tal que a imagem de T seja exatamente o subespaço gerado pelos vetores
v1=(1,1,2,1), v2=(2,1,0,1)
O conteúdo usado será: definição de transformação linear por imagem de uma base e conceito de imagem (span dos vetores imagem).

Passo 2

Escolhemos a base canônica de R^3, e1,e2,e3. Basta definir
T(e1)=v1, T(e2)=v2, T(e3)=0
Isso garante que
ImT=spanT(e1),T(e2),T(e3) =spanv1,v2,0 =spanv1,v2

Passo 3

Para um vetor genérico (x,y,z)inR^3, escrevemos
(x,y,z)=x,e1+y,e2+z,e3
e, pela linearidade de T,
T(x,y,z) =x,T(e1)+y,T(e2)+z,T(e3) =x,v1+y,v2+zcdot0 =x,v1+y,v2
Portanto
T(x,y,z) =l(x+2y,;x+y,;2x,;x+yr)

Passo 4

Em forma matricial, se identificarmos T pela matriz A tal que T(x,y,z)=A,(x,y,z)^T, então
A= 1 & 2 & 0 1 & 1 & 0 2 & 0 & 0 1 & 1 & 0
De fato, as colunas são v1,v2,0 e a imagem de A é o span das duas primeiras colunas, ou seja,
ImT=spanv1,v2

Resposta

Definimos
T:R^3toR^4, T(x,y,z)=l(x+2y,;x+y,;2x,;x+yr),
cuja matriz na base canônica é
1 & 2 & 0 1 & 1 & 0 2 & 0 & 0 1 & 1 & 0
e satisfaz ImT=span(1,1,2,1),(2,1,0,1).

Exercícios relacionados