Em cada problema dado, expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma convolução.
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Passo 1
A gente tem a EDO com condições iniciais zero, que é dada por
4 y’’ + 4 y’ + 17 y = g(t), com y(0)=0 e y’(0)=0. O conteúdo aqui é usar transformada de Laplace para achar a função de transferência e depois voltar ao domínio do tempo via convolução.
Passo 2
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados, lembrando que y(0)=0 e y’(0)=0, temos
4[s^2 Y(s)] + 4[s Y(s)] + 17 Y(s) = G(s).
Ou seja, podemos fatorar Y(s):
Passo 3
Isolando o quociente Y(s)/G(s), definimos a função de transferência H(s):
Para inverter, completamos o quadrado no denominador:
Logo,
Passo 4
Para achar a resposta ao impulso h(t), usamos a transformada inversa conhecida:
Se
então
$$h(t) = L^{-1}{H(s)} = \frac{1}{4} ;L{-1}\Bigl{\frac{1}{(s+\tfrac12)2 + 2^2}\Bigr} = \frac{1}{4} \cdot e^{-t/2}\frac{\sin(2t)}{2} = \frac{1}{8} e^{-t/2}\sin(2t).
$$
Passo 5
Por fim, pela propriedade de convolução de transformadas de Laplace, a solução y(t) é o produto de convolução entre h(t) e g(t):
y(t) = (h * g)(t) = \int_{0}^{t} h(t-τ),g(τ),dτ.
Substituindo h(t-τ), chegamos a expressão em forma de convolução.