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p)
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q)
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r)
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p)
q)
r)
Passo 1
O problema pede para encontrar cada função f(x) cuja derivada f’(x) é dada. Vamos usar reversão da regra de potência (cadeia reversa), integração de funções compostas, integração logarítmica e fórmulas padrão para funções exponenciais, trigonométricas e racionais.
Passo 2
Para as expressões do tipo a·(u(x))^n·u’(x) (itens 1, 2, 3, 5, 17, 18 e 20), fazemos a substituição u=u(x), du=u’(x)dx e aplicamos ∫u^n du=u^{n+1}/(n+1).
Para itens 6 e 7, notamos f’(x)=u’(x)/u(x), logo ∫u’/u dx=ln|u|+C.
Para os itens 8, 9, 10, 11, 12, 14 e 15, reconhecemos derivadas de sin(u), a^x, e^x e composições exp(u(x)): ∫cos(u)u’ dx=sin(u)+C, ∫a^x ln(a) dx=a^x+C, ∫e^{u}u’ dx=e^{u}+C.
Para itens 6 e 7, notamos f’(x)=u’(x)/u(x), logo ∫u’/u dx=ln|u|+C.
Para os itens 8, 9, 10, 11, 12, 14 e 15, reconhecemos derivadas de sin(u), a^x, e^x e composições exp(u(x)): ∫cos(u)u’ dx=sin(u)+C, ∫a^x ln(a) dx=a^x+C, ∫e^{u}u’ dx=e^{u}+C.
Passo 3
No item p, identificamos f’(x) como derivada de coth(x), pois d/dx coth(x)=−csch²(x)=−4/(ex−e{−x})². No item 16, fazemos u=ex−e{−x}, u’=ex+e{−x}, e f’(x)=u’/u ⇒ f(x)=ln|u|+C.
No item 13, voltamos a u=x²−4, du=2x dx e usamos ∫a^u du=a^u/ln(a).
No item 19, aplicamos a fórmula padrão ∫dx/(x²−a²)² = x/(2a²(x²−a²)) + [1/(4a³)] ln| (x−a)/(x+a) | +C com a=√10.
No item 13, voltamos a u=x²−4, du=2x dx e usamos ∫a^u du=a^u/ln(a).
No item 19, aplicamos a fórmula padrão ∫dx/(x²−a²)² = x/(2a²(x²−a²)) + [1/(4a³)] ln| (x−a)/(x+a) | +C com a=√10.
Resposta
- f(x)=(2x−1)³ + C
p) f(x)=coth(x) + C - f(x)=(2x−1)⁴ + C
q) f(x)=√(2x+1) + C - f(x)=(5x²−3x+5)⁶ + C
r) f(x)=(2x+1)^{1/3} + C - f(x)=(1/x²+1/x+1)³ + C
- f(x)=(x²−3x−2)^{−5} + C
- f(x)=ln|3x²−2x| + C
- f(x)=ln|x²−3x+6| + C
- f(x)=sin(x²−3x) + C
- f(x)=2^x + C
- f(x)=5^x + C
- f(x)=e^x + 3^x + C
- f(x)=2e^{x²−2x+1} + C
- f(x)=\frac{ln(3)}{ln(2)}·2^{x²−4} + C
- f(x)=e^{\frac{x−1}{x+1}} + C
- f(x)=e^x + e^{−x} + C
- f(x)=ln|e^x − e^{−x}| + C
- f(x)=\frac{1}{2}√(2x+1) + C
- f(x)=\frac{1}{2}√(2x) + C
- f(x)=\frac{2x}{x²−10} + \frac{1}{√{10}}\ln\Bigl|\frac{x−√{10}}{x+√{10}}\Bigr| + C
- f(x)=\frac{1}{2x²} + C