Em cada problema dado, expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma convolução.
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Passo 1
O problema é resolver a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: método de resposta ao impulso e convolução (função de Green) para escrever a solução forçada.
Vamos precisar: 1) solução da homogênea para acomodar as condições iniciais; 2) resposta ao impulso do sistema para escrever a convolução com g(t).
Passo 2
Primeiro achamos a solução da equação homogênea associada
com condições iniciais y(0)=0 e y’(0)=1. A solução geral da homogênea é
Aplicando y(0)=0 dá A=0. Calculando y’(t)=B\omega\cos(\omega t) e impondo y’(0)=1 obtemos B=1/\omega. Logo
Repare que este mesmo y_h(t) é a resposta ao impulso do sistema, ou seja, a função de Green h(t) satisfaz
e resulta em
Passo 3
A solução completa é a soma da reação às condições iniciais (que já está em y_h) mais a parte forçada expressa por convolução entre h(t) e g(t). Assim
Substituindo h(t)=\frac{1}{\omega}\sin(\omega t) obtemos
Resposta
y(t)=\frac{1}{\omega}\sin(\omega t)+\int_{0}^{t}\frac{1}{\omega}\sin\bigl(\omega(t-\tau)\bigr),g(\tau),d\tau