Em cada problema dado, expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma convolução.
y^prime prime+omega^2 y=g(t) ; y(0)=0, y^prime(0)=1.

Passo 1

O problema é resolver a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: método de resposta ao impulso e convolução (função de Green) para escrever a solução forçada.
Vamos precisar: 1) solução da homogênea para acomodar as condições iniciais; 2) resposta ao impulso do sistema para escrever a convolução com g(t).

Passo 2

Primeiro achamos a solução da equação homogênea associada
y'' + omega^2 y = 0
com condições iniciais y(0)=0 e y’(0)=1. A solução geral da homogênea é
yh(t) = Acos(omega t) + Bsin(omega t)
Aplicando y(0)=0 dá A=0. Calculando y’(t)=B\omega\cos(\omega t) e impondo y’(0)=1 obtemos B=1/\omega. Logo
yh(t)=1omegasin(omega t)
Repare que este mesmo y_h(t) é a resposta ao impulso do sistema, ou seja, a função de Green h(t) satisfaz
h''+omega^2 h=de
e resulta em
h(t)=1omegasin(omega t)

Passo 3

A solução completa é a soma da reação às condições iniciais (que já está em y_h) mais a parte forçada expressa por convolução entre h(t) e g(t). Assim
y(t)=yh(t)+integral0^th(t-tau),g(tau),dtau
Substituindo h(t)=\frac{1}{\omega}\sin(\omega t) obtemos
y(t)=1omegasin(omega t)+integral0^t1omegasinl(omega(t-tau)r),g(tau),dtau

Resposta

y(t)=\frac{1}{\omega}\sin(\omega t)+\int_{0}^{t}\frac{1}{\omega}\sin\bigl(\omega(t-\tau)\bigr),g(\tau),d\tau

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