Use o teorema de resíduos de Cauchy para calcular a integral indicada ao longo do contorno especificado.
ointC z e^zz^2-1 d z, C:|z|=2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno
ointC z e^zz^2-1,dz, onde o contorno C é o círculo |z|=2. O assunto é o Teorema dos Resíduos de Cauchy, e vamos precisar: 1) identificar os polos isolados de f(z)=z e^z/(z^2-1) dentro de C, 2) calcular seus resíduos e 3) aplicar o teorema.

Passo 2

O Teorema dos Resíduos de Cauchy diz que se f é analítica em e sobre um contorno fechado C, exceto por polos isolados ak no interior, então
ointC f(z),dz = 2pi i sumk Res(f,ak) Aqui temos polos simples onde z^2-1=0, ou seja em z=1 e z=-1.

Passo 3

Verificamos que ambos os polos z=1 e z=-1 satisfazem |z|<2, logo ambos estão dentro do contorno.

Passo 4

Para calcular o resíduo em um polo simples a, usamos
Res(f,a)=limzto a(z-a)f(z)
No polo z=1 temos
Res(f,1)=limzto1(z-1)z e^zz^2-1 =limzto1z e^zz+1 =1cdot e^11+1 =e2

Passo 5

De modo análogo, no polo z=-1 obtemos
Res(f,-1)=limzto-1(z+1)z e^zz^2-1 =limzto-1z e^zz-1 =(-1)e^-1-1-1 =-e^-1-2 =e^-12

Passo 6

Somando os resíduos:
Res(f,1)+Res(f,-1) =e2+e^-12 =e+e^-12 =cosh(1)

Passo 7

Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral vale
ointCz e^zz^2-1dz = 2pi il(cosh(1)r)

Resposta

2pi i,cosh(1)

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