Use o teorema de resíduos de Cauchy, onde for apropriado, para calcular a integral indicada ao longo do contorno especificado.
ointC 1(z-1)(z+2)^2 d z
|z|=32

Passo 1

Estamos calculando a integral de contorno ointC1(z-1)(z+2)^2,dz com C dado por |z|=3/2. O conteúdo principal é o teorema dos resíduos de Cauchy para funções meromorfas e vamos precisar localizar os polos da função e calcular seus resíduos.

Passo 2

A função f(z)=1(z-1)(z+2)^2 apresenta dois polos: um simples em z=1 e um de ordem 2 em z=-2. Como |1|=1<3/2, o polo z=1 está dentro de C. Como |-2|=2>3/2, o polo z=-2 fica fora do contorno e não contribui para a integral.

Passo 3

Para o polo simples em z=1, usamos a fórmula do resíduo simples:
Res(f,1)=limzto1(z-1)1(z-1)(z+2)^2=1(1+2)^2=19

Passo 4

Pelo teorema dos resíduos de Cauchy, a integral vale 2pi i vezes a soma dos resíduos internos. Há só o de z=1, logo:
ointC1(z-1)(z+2)^2,dz=2pi icdot19=2pi i9

Resposta

2pi i9

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