Considere a região
localizada acima do eixo das abscissas, à direita da reta
e sob a curva
. Em cada item, faça uma figura com um esboço da região, mostrando o i-ésimo retângulo elementar, e calcule a área da região, expressando-a como o limite de uma Soma de Riemann, tomando retângulos elementares:
circunscritos a
;
circunscritos a
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que encontrar a área da região
que está acima do eixo das abscissas (o eixo
), à direita da reta
e debaixo da curva
. Para resolver isso, vamos usar Soma de Riemann, que é uma maneira de aproximar a área sob uma curva dividindo-a em retângulos. Vamos precisar entender como definir os limites de integração e configurar nossa soma.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde a curva
intercepta o eixo
. Para isso, igualamos
a zero:
Então, os pontos de interseção são
e
. Mas como estamos considerando a região à direita de
, nosso intervalo de interesse é de
a
.
Passo 3
Agora, vamos dividir esse intervalo
em
subintervalos iguais. O comprimento de cada subintervalo, ou a largura de cada retângulo, será:
Passo 4
Para cada subintervalo, escolhemos o ponto mais à direita como a altura do retângulo (já que estamos usando retângulos circunscritos, ou seja, acima da curva). O ponto
no i-ésimo subintervalo será:
A altura do retângulo será então:
Passo 5
A área de cada retângulo será a altura multiplicada pela largura:
Passo 6
A soma de todas as áreas dos retângulos será:
Para encontrar a área exata, tomamos o limite dessa soma quando
tende ao infinito:
Resposta
A área da região
é dada por: