Considere a região R localizada acima do eixo das abscissas, à direita da reta x=1 e sob a curva y=4-x^2. Em cada item, faça uma figura com um esboço da região, mostrando o i-ésimo retângulo elementar, e calcule a área da região, expressando-a como o limite de uma Soma de Riemann, tomando retângulos elementares:
circunscritos a R;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar a área da região que está acima do eixo das abscissas (o eixo ), à direita da reta e debaixo da curva . Para resolver isso, vamos usar Soma de Riemann, que é uma maneira de aproximar a área sob uma curva dividindo-a em retângulos. Vamos precisar entender como definir os limites de integração e configurar nossa soma.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde a curva 4 - x^2 = 0 intercepta o eixo x^2 = 4 . Para isso, igualamos x = pm 2 a zero:
Então, os pontos de interseção são e . Mas como estamos considerando a região à direita de , nosso intervalo de interesse é de a .

Passo 3

Agora, vamos dividir esse intervalo De em subintervalos iguais. O comprimento de cada subintervalo, ou a largura de cada retângulo, será:

Passo 4

Para cada subintervalo, escolhemos o ponto mais à direita como a altura do retângulo (já que estamos usando retângulos circunscritos, ou seja, acima da curva). O ponto xi = 1 + i De no i-ésimo subintervalo será:
f(xi) = 4 - (1 + in)^2
A altura do retângulo será então:

Passo 5

A área de cada retângulo será a altura multiplicada pela largura:
Área do retângulo = f(xi) DeÁâ

Passo 6

A soma de todas as áreas dos retângulos será:
A approx sumi=1^n (4 - (1 + in)^2) cdot 1n
Para encontrar a área exata, tomamos o limite dessa soma quando A = limn to infty sumi=1^n (4 - (1 + in)^2) cdot 1n tende ao infinito:

Resposta

A área da região A = limn to infty sumi=1^n (4 - (1 + in)^2) cdot 1n é dada por:

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