Cada problema desta seção admite solução; encontre-a e justifique sua existência.
4. Encontre os pontos da intersecção das superfícies x y z=8 e z^{2}=4 x^{2}+4 y^{2} mais próximos de (0,0,0).

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os pontos da intersecção das superfícies \,xyz=8\, e \,z^{2}=4x^{2}+4y^{2}\, que estão mais próximos do ponto (0,0,0).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A intersecção é o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem simultaneamente
xyz=8
e
z^{2}=4x^{2}+4y^{2}.
  • Queremos minimizar a distância do ponto (x,y,z) até a origem (0,0,0). Em vez da distância, é mais conveniente minimizar o quadrado da distância, que é
f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
  • As duas equações formam duas restrições que o ponto deve satisfazer.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática e intuitiva):
  • Estamos minimizando uma função f(x,y,z) sujeita a duas restrições iguais a zero. Um método padrão e eficiente para isso é o método dos multiplicadores de Lagrange com duas restrições.
  • Ideia do método dos multiplicadores (aula curta): se queremos extremizar f sob as restrições g_{1}(x,y,z)=0 e g_{2}(x,y,z)=0, então, num ponto regular da intersecção, o gradiente de f deve ser combinação linear dos gradientes das restrições:
\nabla f=\lambda \nabla g_{1}+\mu \nabla g_{2},
onde \lambda e \mu são os multiplicadores (números reais). Aqui \nabla significa vetor de derivadas parciais; por exemplo \nabla f=(\partial f/\partial x,\partial f/\partial y,\partial f/\partial z).
  • Vamos aplicar isso com
g_{1}(x,y,z)=xyz-8,\qquad g_{2}(x,y,z)=z^{2}-4x^{2}-4y^{2}.

Passo 3

Calcular gradientes e escrever o sistema de Lagrange:
  • Gradientes:
\nabla f=(2x,\,2y,\,2z),
\nabla g_{1}=(yz,\,xz,\,xy),
\nabla g_{2}=(-8x,\,-8y,\,2z).
  • Equação de Lagrange \nabla f=\lambda\nabla g_{1}+\mu\nabla g_{2} dá, componente a componente,
2x=\lambda yz -8\mu x,
2y=\lambda xz -8\mu y,
2z=\lambda xy +2\mu z.
Além disso temos as duas restrições originais
xyz=8,
z^{2}=4x^{2}+4y^{2}.

Passo 4

Manipular a terceira equação para obter uma relação útil:
  • A terceira equação é
2z=\lambda xy +2\mu z.
  • Passando o termo com \mu para a esquerda,
2z(1-\mu)=\lambda xy.
  • Observe que x,y,z não podem ser 0 porque xyz=8. Assim podemos usar divisões por x,y,z quando for necessário.
  • Vamos substituir \lambda obtido aí nas primeiras duas equações.

Passo 5

Substituir \lambda nas primeiras equações e tirar consequência sobre x e y:
  • Da terceira equação isolamos
\lambda=\frac{2z(1-\mu)}{xy}.
  • Substituindo em \,2x=\lambda yz -8\mu x\, obtemos
2x=\frac{2z(1-\mu)}{xy}\,yz -8\mu x.
  • Simplificando o lado direito:
\frac{2z(1-\mu)}{xy}\,yz = \frac{2z^{2}(1-\mu)}{x}.
  • Portanto
2x = \frac{2z^{2}(1-\mu)}{x} -8\mu x.
  • Multiplicando por x,
2x^{2} = 2z^{2}(1-\mu) -8\mu x^{2}.
  • Reorganizando,
x^{2}(2+8\mu)=2z^{2}(1-\mu).
  • Fazendo o mesmo com a segunda equação (pela simetria) obtemos
y^{2}(2+8\mu)=2z^{2}(1-\mu).
  • Comparando as duas expressões para o mesmo lado direito, concluímos
x^{2}=y^{2}.
  • Logo ou \,x=y\, ou \,x=-y\,.
(Nota técnica: consideramos também o caso \mu=1. Se \mu=1 então da terceira equação segue \lambda xy=0. Como xy\neq0 então \lambda=0. Substituindo na primeira equação obteríamos 2x=-8x o que implica x=0, contradizendo xyz=8. Assim \mu\neq1 e as divisões realizadas são válidas.)

Passo 6

Caso 1: x=y. Resolver as restrições nesse caso.
  • Se x=y então da restrição \,xyz=8 vem
x^{2}z=8 \quad\Rightarrow\quad z=\frac{8}{x^{2}}.
  • Substituir esse z na segunda restrição \,z^{2}=4x^{2}+4y^{2}=8x^{2}\,:
\left(\frac{8}{x^{2}}\right)^{2}=8x^{2}.
  • Calcular o quadrado e simplificar:
\frac{64}{x^{4}}=8x^{2}.
  • Multiplicando por x^{4},
64=8x^{6}.
  • Dividindo por 8,
x^{6}=8.
  • Tirando a raiz sexta,
x^{6}=2^{3}\quad\Rightarrow\quad x= \pm 2^{1/2}=\pm\sqrt{2}.
  • Como y=x, y=\pm\sqrt{2} com o mesmo sinal. E
z=\frac{8}{x^{2}}=\frac{8}{2}=4.
  • Assim obtemos os dois pontos
\bigl(\sqrt{2},\sqrt{2},4\bigr)\quad\text{e}\quad\bigl(-\sqrt{2},-\sqrt{2},4\bigr).

Passo 7

Caso 2: x=-y. Resolver as restrições nesse caso.
  • Se y=-x então \,xyz = x(-x)z = -x^{2}z =8, logo
z=-\frac{8}{x^{2}}.
  • Substituir em \,z^{2}=4x^{2}+4y^{2}=8x^{2}\, dá a mesma equação que no caso anterior:
\left(-\frac{8}{x^{2}}\right)^{2}=8x^{2}\quad\Rightarrow\quad \frac{64}{x^{4}}=8x^{2},
que leva novamente a
x^{6}=8\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{2}.
  • Como y=-x, os pares (x,y) são (\sqrt{2},-\sqrt{2}) e (-\sqrt{2},\sqrt{2}). E
z=-\frac{8}{x^{2}}=-\frac{8}{2}=-4.
  • Assim obtemos os dois pontos
\bigl(\sqrt{2},-\sqrt{2},-4\bigr)\quad\text{e}\quad\bigl(-\sqrt{2},\sqrt{2},-4\bigr).

Passo 8

Verificar que são mínimos e justificar existência do mínimo:
  • Primeiro, a intersecção S=\{(x,y,z)\mid xyz=8,\; z^{2}=4x^{2}+4y^{2}\} é o zero de funções contínuas, logo é um conjunto fechado.
  • Para pontos com norma grande, a segunda equação implica \,z^{2}=4x^{2}+4y^{2}\ge 4(x^{2}+y^{2}), então
x^{2}+y^{2}+z^{2}\ge x^{2}+y^{2}+4(x^{2}+y^{2})=5(x^{2}+y^{2}),
que tende para +\infty quando |(x,y)|\to\infty. Portanto a função f=x^{2}+y^{2}+z^{2} tende a +\infty ao longo da intersecção quando as coordenadas crescem em módulo, o que garante que existe uma norma mínima atingida por f em S.
  • Encontramos quatro pontos críticos pelo método dos multiplicadores. Não há outras soluções possíveis (porque partimos das equações necessárias e tratamos o caso \mu=1 como impossível). Logo esses pontos são candidatos ao mínimo e, visto que são os únicos pontos críticos finitos e a função vai a +\infty no “infinito” da curva, eles correspondem ao mínimo global.
  • O valor do quadrado da distância nesses pontos é
x^{2}+y^{2}+z^{2}=2+2+16=20,
logo a distância mínima é \sqrt{20}=2\sqrt{5}.

Resposta

(\sqrt{2},\sqrt{2},4)
(-\sqrt{2},-\sqrt{2},4)
(\sqrt{2},-\sqrt{2},-4)
(-\sqrt{2},\sqrt{2},-4)

Exercícios relacionados