Cada problema desta seção admite solução; encontre-a e justifique sua existência.
4. Encontre os pontos da intersecção das superfícies
e
mais próximos de
.
4. Encontre os pontos da intersecção das superfícies
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os pontos da intersecção das superfícies
e
que estão mais próximos do ponto
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A intersecção é o conjunto de pontos
que satisfazem simultaneamente
e
- Queremos minimizar a distância do ponto
até a origem . Em vez da distância, é mais conveniente minimizar o quadrado da distância, que é
- As duas equações formam duas restrições que o ponto deve satisfazer.
Passo 2
Escolha do método (explicação didática e intuitiva):
- Estamos minimizando uma função
sujeita a duas restrições iguais a zero. Um método padrão e eficiente para isso é o método dos multiplicadores de Lagrange com duas restrições. - Ideia do método dos multiplicadores (aula curta): se queremos extremizar
sob as restrições e , então, num ponto regular da intersecção, o gradiente de deve ser combinação linear dos gradientes das restrições:
onde
e
são os multiplicadores (números reais). Aqui
significa vetor de derivadas parciais; por exemplo
.
- Vamos aplicar isso com
Passo 3
Calcular gradientes e escrever o sistema de Lagrange:
- Gradientes:
- Equação de Lagrange
dá, componente a componente,
Além disso temos as duas restrições originais
Passo 4
Manipular a terceira equação para obter uma relação útil:
- A terceira equação é
- Passando o termo com
para a esquerda,
- Observe que
não podem ser porque . Assim podemos usar divisões por quando for necessário. - Vamos substituir
obtido aí nas primeiras duas equações.
Passo 5
Substituir
nas primeiras equações e tirar consequência sobre
e
:
- Da terceira equação isolamos
- Substituindo em
obtemos
- Simplificando o lado direito:
- Portanto
- Multiplicando por
,
- Reorganizando,
- Fazendo o mesmo com a segunda equação (pela simetria) obtemos
- Comparando as duas expressões para o mesmo lado direito, concluímos
- Logo ou
ou .
(Nota técnica: consideramos também o caso
. Se
então da terceira equação segue
. Como
então
. Substituindo na primeira equação obteríamos
o que implica
, contradizendo
. Assim
e as divisões realizadas são válidas.)
Passo 6
Caso 1:
. Resolver as restrições nesse caso.
- Se
então da restrição vem
- Substituir esse
na segunda restrição :
- Calcular o quadrado e simplificar:
- Multiplicando por
,
- Dividindo por
,
- Tirando a raiz sexta,
- Como
, com o mesmo sinal. E
- Assim obtemos os dois pontos
Passo 7
Caso 2:
. Resolver as restrições nesse caso.
- Se
então , logo
- Substituir em
dá a mesma equação que no caso anterior:
que leva novamente a
- Como
, os pares são e . E
- Assim obtemos os dois pontos
Passo 8
Verificar que são mínimos e justificar existência do mínimo:
- Primeiro, a intersecção
é o zero de funções contínuas, logo é um conjunto fechado. - Para pontos com norma grande, a segunda equação implica
, então
que tende para
quando
. Portanto a função
tende a
ao longo da intersecção quando as coordenadas crescem em módulo, o que garante que existe uma norma mínima atingida por
em
.
- Encontramos quatro pontos críticos pelo método dos multiplicadores. Não há outras soluções possíveis (porque partimos das equações necessárias e tratamos o caso
como impossível). Logo esses pontos são candidatos ao mínimo e, visto que são os únicos pontos críticos finitos e a função vai a no “infinito” da curva, eles correspondem ao mínimo global. - O valor do quadrado da distância nesses pontos é
logo a distância mínima é
.