Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os como pontos de máximo local, pontos de mínimo local ou pontos de sela.
Se uma função derivável
tem um único ponto crítico
, e se
é ponto de mínimo local de
, então
é ponto de mínimo global de
(por quê?). O mesmo não ocorre com uma função
. Verifique que a função
tem um único ponto crítico, que este ponto crítico é ponto de mínimo local de
, e que
não tem nenhum ponto de mínimo global.
Se uma função derivável
Passo 1
O enunciado pede duas coisas principais e dá uma função concreta para analisar. Vou listar claramente o que é pedido e os dados que temos:
-
Pedidos:
- Determinar os pontos críticos da função
. - Classificar cada ponto crítico como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
- Explicar por que, para uma função derivável
que tem um único ponto crítico , se é mínimo local então é mínimo global. - Mostrar que a função dada
tem único ponto crítico, que esse ponto é mínimo local e que, apesar disso, não tem mínimo global.
- Determinar os pontos críticos da função
-
Dados relevantes extraídos do enunciado:
- A função a estudar é
, definida em todo . - Vamos precisar de critérios para pontos críticos e para classificá-los (gradiente, Hessiano, teste das segundas derivadas).
- A função a estudar é
A partir daqui começo a resolver e a ensinar passo a passo.
Passo 2
Conceitos e ferramentas que vou usar (explicados de forma prática antes de aplicar):
- Ponto crítico (função de duas variáveis): um ponto
é ponto crítico de se o gradiente em é o vetor nulo, isto é,
Isto corresponde a pontos onde as derivadas parciais são simultaneamente zero (ou não existem).
- Teste das segundas derivadas (Hessiano) para classificação local: para
duas deriváveis, o Hessiano é a matriz das segundas derivadas
Avalia-se o Hessiano no ponto crítico
. Se
e
, o ponto é mínimo local. Se
e
, é máximo local. Se
, é ponto de sela. Se
, o teste não é conclusivo. Explico por que isso funciona: para funções de duas variáveis, a forma quadrática aproximante dada por
determina o comportamento local; sinal definido positivo => mínimo, sinal definido negativo => máximo, indefinido => sela.
- Observação intuitiva sobre derivadas em uma variável: se
é derivável e tem um único ponto crítico e esse é mínimo local, então não pode existir outro ponto onde a derivada se anule. A derivada, por possuir a propriedade de valor intermediário (Darboux), não pode mudar de sinal sem passar por zero; portanto a derivada tem sinal não-positivo à esquerda de e não-negativo à direita de , o que implica que é não-increasing antes de e non-decreasing depois de . Isso garante que seja mínimo global. Vou formalizar isso na parte do enunciado onde pedem o porquê.]
Passo 3
Calcular as derivadas parciais e o gradiente de
.
- Primeiro, calcule
. Como , a derivada parcial em relação a é a soma da derivada de e da derivada de (tratando como constante). Assim,
- Agora
. Derivando em relação a obtemos 0; derivando em relação a obtemos . Então
- Portanto o gradiente é
Passo 4
Resolver o sistema [\nabla f(x,y)=(0,0)) para encontrar pontos críticos.
Temos o sistema
Analiso o segundo fator pois ele é mais simples:
- Da segunda equação
ou
, isto é, .
Estudo cada caso:
- Caso
. Substituindo na primeira equação:
Logo
é uma solução.
- Caso
. Substituindo na primeira equação:
logo não satisfaz a primeira equação; não há soluções com
.
Conclusão deste passo: o único ponto crítico é
.]
Passo 5
Calcular as segundas derivadas (componentes do Hessiano) e avaliar no ponto crítico para classificar.
-
Calculo das segundas derivadas em geral:
-
-
-
- (Simetricamente
.)
-
-
Agora avalio no ponto
: -
-
Hessiano em
:
Determinante
e
. Pelo teste das segundas derivadas,
é definida positiva, então
é ponto de mínimo local.
Vou reforçar a intuição: perto de
o comportamento de
é parecido com a forma quadrática
(já que os termos de ordem superior são menores), e essa forma é claramente mínima em
.]
Passo 6
Mostrar que
é o único ponto crítico (já vimos isso) e que, apesar de ser mínimo local,
não tem mínimo global.
-
Já demonstramos unicidade: das soluções do sistema de gradiente, apenas
resolve as duas equações simultaneamente. -
Agora mostro que não existe mínimo global. Note que se eu fixar
então . Substituindo em ,
Mas
pode ser arbitrariamente negativo quando
cresce: por exemplo,
quando
. Em particular existem pontos
com
. Então
não é limitada inferiormente, logo não tem mínimo global. Mesmo sem ir ao infinito, posso escolher
e obter
. Assim
não é mínimo global embora seja mínimo local.
Comentário intuitivo: a presença do fator
faz com que, para
, o termo em
tenha coeficiente negativo; então alongando
com
fixo em alguma posição com
leva a valores muito negativos.
Passo 7
Explicação do item teórico: por que, para
derivável, se existe um único ponto crítico
e ele é mínimo local então
é mínimo global.
-
Intuição e argumento: se
é mínimo local, então existe um intervalo aberto tal que para todo nesse intervalo. Pelo Lema de Fermat, , então é ponto crítico. Como é o único ponto crítico, em qualquer intervalo onde a derivada muda de sinal ela teria que passar por um ponto onde é zero. Mas isso é impossível porque não há outros zeros de . Mais formalmente, a derivada tem a propriedade de Darboux (tem a propriedade do valor intermediário): não pode saltar de um sinal para outro sem tomar o valor . Do mínimo local segue que, num pequeno intervalo à direita de , e, à esquerda, . Como não pode mudar de sinal sem anular-se, estas desigualdades estendem-se para todo o intervalo e respectivamente. Assim é não-crescente em e não-decrescente em . Portanto para todo temos . Logo é mínimo global. -
Observação sobre por que não usamos aqui algo muito técnico: a propriedade essencial usada é que a derivada não pode mudar de sinal sem passar pelo zero (Darboux). Uma forma alternativa de ver isso, mais elementar, é assumir por contradição que existe
com . Pelo Teorema do Valor Médio existe tal que
Mas perto de
a derivada era não-negativa (por ser mínimo local), então para passar de não-negativa perto de
para negativa em
teria que haver algum ponto entre
e
onde
é zero, contradizendo a unicidade do ponto crítico. Assim não pode existir
com
. Analogamente para
. Isso conclui a prova.
Passo 8
Recapitulando e concluindo de forma direta (preparando a resposta final): determinamos que o único ponto crítico da função dada é
; classificamos esse ponto como mínimo local pelo Hessiano definido positivo; mostramos explicitamente que a função atinge valores arbitrariamente negativos (por exemplo em
com
grande), logo não existe mínimo global; e mostramos o porquê do resultado em
(unicidade do crítico + mínimo local implica mínimo global) usando a continuidade da derivada no sentido da propriedade do valor intermediário / argumento com Teorema do Valor Médio.
Resposta
Pontos críticos de
:
(único).
Classificação de
: ponto de mínimo local (Hessiano em
é
, definido positivo).
Existência de mínimo global para
: não existe mínimo global (por exemplo
quando
).
Sobre
: se
é derivável e tem único ponto crítico
e
é mínimo local, então
é mínimo global, porque a derivada não pode mudar de sinal sem se anular (Darboux / argumento pelo Teorema do Valor Médio), o que implica que
é não-crescente em
e não-decrescente em
, garantindo
para todo
.