Em cada problema encontre a solução do problema de valor inicial.
\left{ \begin{array}{l}y^{\prime}(t)-y(t)=2 t e^{2 t} \\ y(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial para uma equação diferencial linear de primeira ordem:
y'(t)-y(t)=2t\,e^{2t},\quad y(0)=1.
Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(t)=e^{\int -1\,dt}=e^{-t}.
Multiplicando a equação original por \mu(t), obtemos
e^{-t}y'(t)-e^{-t}y(t)=2t\,e^{2t}e^{-t}=2t\,e^{t}.

Passo 3

Reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada de \mu(t)y(t):
\frac{d}{dt}\bigl(e^{-t}y(t)\bigr)=2t\,e^{t}.
Integrando ambos os lados em relação a t, fica
e^{-t}y(t)=\int 2t\,e^{t}\,dt =2(t-1)e^{t}+C.

Passo 4

Multiplicando por e^{t} obtemos a solução geral
y(t)=2(t-1)e^{2t}+C\,e^{t}.
Para determinar C, usamos y(0)=1:
1=2(0-1)e^{0}+C\,e^{0}=-2+C\quad\Longrightarrow\quad C=3.

Resposta

y(t)=2(t-1)e^{2t}+3e^{t}.

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