Para cada problema de valor inicial abaixo:
a) Classifique a equação diferencial entre: separável, linear, exata, exata por fator integrante ou “reduzível a uma dessas categorias por mudança de variáveis”.
b) Resolva a equação diferencial e determine a solução que satisfaz a condição inicial.
c) (Quando indicado) discuta a aplicação do Teorema de Existência e Unicidade (TEU).
Exercício 6. Resolva o PVI
supondo
.
a) Classifique a equação diferencial entre: separável, linear, exata, exata por fator integrante ou “reduzível a uma dessas categorias por mudança de variáveis”.
b) Resolva a equação diferencial e determine a solução que satisfaz a condição inicial.
c) (Quando indicado) discuta a aplicação do Teorema de Existência e Unicidade (TEU).
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial e pede três coisas:
- Equação:
- Condição inicial:
As perguntas do exercício são:
(a) classificar a equação entre: separável, linear, exata, exata por fator integrante ou “reduzível a uma dessas categorias por mudança de variáveis”;
(b) resolver a equação e determinar a solução que satisfaz a condição inicial;
(c) quando indicado, discutir a aplicação do Teorema de Existência e Unicidade (TEU).
(a) classificar a equação entre: separável, linear, exata, exata por fator integrante ou “reduzível a uma dessas categorias por mudança de variáveis”;
(b) resolver a equação e determinar a solução que satisfaz a condição inicial;
(c) quando indicado, discutir a aplicação do Teorema de Existência e Unicidade (TEU).
Passo 2
Reescrever a equação na forma padrão para identificação de tipo. Dividindo por
(sendo
isso é permitido) obtemos
Agora observar as possibilidades:
- Separável? Uma equação é separável se pode ser escrita como
. Aqui o lado direito envolve e de forma linear em e não permite separar em função só de vezes função só de . Logo não é separável. - Exata? A forma padrão para testar exatidão é
; aqui não temos uma forma que conduza a uma função potencial com . É mais direto reconhecer que a equação está na forma de uma equação linear de primeira ordem. - Linear? Sim: na forma
com e . Portanto é uma equação diferencial linear de primeira ordem.
Conclusão da classificação (resposta para (a)): a equação é linear de primeira ordem (não separável e não exata).
Passo 3
Aula rápida (didática) sobre o método do fator integrante para equações lineares de primeira ordem.
- Equação linear padrão:
- O objetivo é encontrar uma função
(chamada fator integrante) tal que, ao multiplicar a equação por , o lado esquerdo fique sendo a derivada de . Ou seja, queremos
- Isso exige que
, que é uma equação separável para . Assim
- Uma vez encontrada
, multiplicando a equação original por obtém-se
Integra-se ambos os lados e resolve-se para
.
Esse método é padrão e funciona sempre que
e
são funções contínuas na região considerada.
Passo 4
Aplicar o método ao nosso caso. Temos já identificado
e
. Calcular o fator integrante:
Como
podemos usar
. Logo
.
Multiplicar a equação original por
:
O lado esquerdo é exatamente a derivada de
, isto é
Passo 5
Integrar ambos os lados e resolver para
. Integrando:
onde
é constante arbitrária. Multiplicando por
obtemos a solução geral:
Passo 6
Impor a condição inicial
para determinar
. Substituindo
:
Portanto a solução do problema de valor inicial é
Antes de seguir, vale conferir rapidamente substituindo na equação original:
. Então
confirmando que é solução.
Passo 7
Discussão do Teorema de Existência e Unicidade (TEU) para este PVI.
- Enunciado útil do TEU (versão para equações lineares de primeira ordem): se
e são contínuas num intervalo contendo o ponto da condição inicial, então existe uma única solução definida numa vizinhança de . - Aqui
e . Ambas são contínuas em qualquer intervalo que não contenha . Como a condição inicial é em e o enunciado já impôs , podemos escolher o intervalo (ou qualquer subintervalo contendo ). Assim e são contínuas em e o TEU garante existência e unicidade da solução no intervalo . - Observação: em
há singularidade (divisão por zero em ), razão pela qual não se pode garantir continuidade nem aplicar o TEU atravessando . Por isso o enunciado tomou .
Resposta
(a) Linear de primeira ordem (não separável, não exata).
(b)
(c) O TEU se aplica em qualquer intervalo contido em que contenha
; portanto existe e é única a solução do PVI em
.
(b)
(c) O TEU se aplica em qualquer intervalo contido em