Para cada problema de valor inicial abaixo:
a) Classifique a equação diferencial entre: separável, linear, exata, exata por fator integrante ou “reduzível a uma dessas categorias por mudança de variáveis”.
b) Resolva a equação diferencial e determine a solução que satisfaz a condição inicial.
c) (Quando indicado) discuta a aplicação do Teorema de Existência e Unicidade (TEU).
Exercício 6. Resolva o PVI
x y^{\prime}-2 y=x^{3}, \quad y(1)=0,
supondo x>0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial e pede três coisas:
  • Equação: x\,y'-2y=x^{3},\qquad x>0.
  • Condição inicial: y(1)=0.
As perguntas do exercício são:
(a) classificar a equação entre: separável, linear, exata, exata por fator integrante ou “reduzível a uma dessas categorias por mudança de variáveis”;
(b) resolver a equação e determinar a solução que satisfaz a condição inicial;
(c) quando indicado, discutir a aplicação do Teorema de Existência e Unicidade (TEU).

Passo 2

Reescrever a equação na forma padrão para identificação de tipo. Dividindo por x (sendo x>0 isso é permitido) obtemos
y' - \frac{2}{x}\,y = x^{2}.
Agora observar as possibilidades:
  • Separável? Uma equação é separável se pode ser escrita como g(y)\,dy = h(x)\,dx. Aqui o lado direito envolve y e x de forma linear em y e não permite separar em função só de y vezes função só de x. Logo não é separável.
  • Exata? A forma padrão para testar exatidão é M(x,y)+N(x,y)y'=0; aqui não temos uma forma que conduza a uma função potencial com \partial M/\partial y=\partial N/\partial x. É mais direto reconhecer que a equação está na forma de uma equação linear de primeira ordem.
  • Linear? Sim: na forma y' + P(x)y = Q(x) com P(x) = -\dfrac{2}{x} e Q(x)=x^{2}. Portanto é uma equação diferencial linear de primeira ordem.
Conclusão da classificação (resposta para (a)): a equação é linear de primeira ordem (não separável e não exata).

Passo 3

Aula rápida (didática) sobre o método do fator integrante para equações lineares de primeira ordem.
  • Equação linear padrão: y' + P(x)\,y = Q(x).
  • O objetivo é encontrar uma função \mu(x) (chamada fator integrante) tal que, ao multiplicar a equação por \mu(x), o lado esquerdo fique sendo a derivada de \mu(x)\,y. Ou seja, queremos
\mu(x)\,y' + \mu(x)P(x)\,y = \frac{d}{dx}\big(\mu(x)\,y\big).
  • Isso exige que \mu'(x) = \mu(x)P(x), que é uma equação separável para \mu. Assim
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big).
  • Uma vez encontrada \mu, multiplicando a equação original por \mu obtém-se
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)\,y\big) = \mu(x)\,Q(x).
Integra-se ambos os lados e resolve-se para y.
Esse método é padrão e funciona sempre que P e Q são funções contínuas na região considerada.

Passo 4

Aplicar o método ao nosso caso. Temos já identificado P(x)=-\dfrac{2}{x} e Q(x)=x^{2}. Calcular o fator integrante:
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big) =\exp\!\Big(\int -\frac{2}{x}\,dx\Big) =\exp\!\big(-2\ln x\big).
Como x>0 podemos usar \exp(-2\ln x)=x^{-2}. Logo \mu(x)=x^{-2}.
Multiplicar a equação original por \mu(x)=x^{-2}:
x^{-2}y' - 2x^{-3}y = x^{-2}\cdot x^{2} = 1.
O lado esquerdo é exatamente a derivada de x^{-2}y, isto é
\frac{d}{dx}\big(x^{-2}y\big)=1.

Passo 5

Integrar ambos os lados e resolver para y. Integrando:
\int \frac{d}{dx}\big(x^{-2}y\big)\,dx = \int 1\,dx \quad\Rightarrow\quad x^{-2}y = x + C,
onde C é constante arbitrária. Multiplicando por x^{2} obtemos a solução geral:
y(x)=x^{2}\,(x+C)=x^{3}+C\,x^{2}.

Passo 6

Impor a condição inicial \,y(1)=0 para determinar C. Substituindo x=1:
y(1)=1^{3}+C\cdot 1^{2}=1+C=0 \quad\Rightarrow\quad C=-1.
Portanto a solução do problema de valor inicial é
y(x)=x^{3}-x^{2},\qquad x>0.
Antes de seguir, vale conferir rapidamente substituindo na equação original: y'(x)=3x^{2}-2x. Então
x\,y'-2y=x(3x^{2}-2x)-2(x^{3}-x^{2})=3x^{3}-2x^{2}-2x^{3}+2x^{2}=x^{3},
confirmando que é solução.

Passo 7

Discussão do Teorema de Existência e Unicidade (TEU) para este PVI.
  • Enunciado útil do TEU (versão para equações lineares de primeira ordem): se P(x) e Q(x) são contínuas num intervalo contendo o ponto x_{0} da condição inicial, então existe uma única solução y(x) definida numa vizinhança de x_{0}.
  • Aqui P(x)=-\dfrac{2}{x} e Q(x)=x^{2}. Ambas são contínuas em qualquer intervalo que não contenha x=0. Como a condição inicial é em x_{0}=1 e o enunciado já impôs x>0, podemos escolher o intervalo (0,\infty) (ou qualquer subintervalo contendo 1). Assim P e Q são contínuas em (0,\infty) e o TEU garante existência e unicidade da solução no intervalo (0,\infty).
  • Observação: em x=0 há singularidade (divisão por zero em P), razão pela qual não se pode garantir continuidade nem aplicar o TEU atravessando 0. Por isso o enunciado tomou x>0.

Resposta

(a) Linear de primeira ordem (não separável, não exata).
(b) \displaystyle y(x)=x^{3}-x^{2},\quad x>0.
(c) O TEU se aplica em qualquer intervalo contido em (0,\infty) que contenha x_{0}=1; portanto existe e é única a solução do PVI em (0,\infty).

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