Para cada problema de valor inicial abaixo:
a) Classifique a equação diferencial entre: separável, linear, exata, exata por fator integrante ou “reduzível a uma dessas categorias por mudança de variáveis”.
b) Resolva a equação diferencial e determine a solução que satisfaz a condição inicial.
c) (Quando indicado) discuta a aplicação do Teorema de Existência e Unicidade (TEU).
Exercício 7. Resolva
a) Classifique a equação diferencial entre: separável, linear, exata, exata por fator integrante ou “reduzível a uma dessas categorias por mudança de variáveis”.
b) Resolva a equação diferencial e determine a solução que satisfaz a condição inicial.
c) (Quando indicado) discuta a aplicação do Teorema de Existência e Unicidade (TEU).
Passo 1
O enunciado nos dá a seguinte equação diferencial com condição inicial, válida para
:
O que é pedido:
(a) classificar a equação entre: separável, linear, exata, exata por fator integrante ou “reduzível a uma dessas categorias por mudança de variáveis”;
(b) resolver a equação diferencial e determinar a solução que satisfaz a condição inicial;
(c) discutir a aplicação do Teorema de Existência e Unicidade (TEU), quando for pertinente.
(a) classificar a equação entre: separável, linear, exata, exata por fator integrante ou “reduzível a uma dessas categorias por mudança de variáveis”;
(b) resolver a equação diferencial e determinar a solução que satisfaz a condição inicial;
(c) discutir a aplicação do Teorema de Existência e Unicidade (TEU), quando for pertinente.
As informações relevantes dadas são:
- A equação diferencial de primeira ordem
. - A condição inicial
. - O domínio indicado
(importante porque aparecerá ao calcular integrais).
Passo 2
Classificação da equação: primeiro vamos pôr a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. A forma padrão é
onde
e
são funções conhecidas de
. Comparando com a nossa equação obtemos:
Portanto a equação é uma equação linear de primeira ordem (não homogênea). Explico brevemente por que não é das outras categorias:
- Separável: uma equação é separável se puder ser escrita como
. Aqui a presença do termo impede a separação simples de e (não se consegue isolar em produto de função só de por função só de ). Logo não é separável. - Exata: para ser exata escreveríamos na forma
e pediríamos . A equação é linear e já tem método mais direto (fator integrante), então classifica-se como linear (e, de fato, pode ser tratada por fator integrante).
Conclusão: a equação é do tipo linear de primeira ordem e será resolvida pelo método do fator integrante.
Passo 3
Apresentando e justificando o método do fator integrante (aula rápida e prática).
Para uma equação linear de primeira ordem na forma
Para uma equação linear de primeira ordem na forma
define-se o fator integrante
por
O motivo: multiplicando a equação por
transformamos o lado esquerdo em derivada do produto
, porque
desde que
, o que é exatamente satisfeito por
. Depois integra-se ambos os lados para obter
, e então resolve-se para
.
Aplicando ao nosso caso:
. Calculamos
:
Como
podemos usar propriedades do logaritmo:
Logo o fator integrante é
.
Passo 4
Multiplicando a equação original por
e usando a propriedade do passo anterior:
O lado esquerdo é a derivada do produto
. Escrevendo explicitamente:
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo recupera
, e a do direito é
mais constante. Assim
onde
é a constante de integração. Agora isolamos
:
Essa é a solução geral da equação diferencial (no intervalo onde
foi calculada, isto é
).
Passo 5
Aplicando a condição inicial para achar a solução particular que satisfaz
. Substituímos
e
em
Obtemos
Logo
Portanto a solução que satisfaz a condição inicial é
Passo 6
Verificação rápida (boa prática para prova): derivando
temos
. Substituindo na equação original:
que coincide com o lado direito, portanto a solução está correta.
Passo 7
Discussão do Teorema de Existência e Unicidade (TEU).
Enunciado relevante (forma útil): para o problema inicial
Enunciado relevante (forma útil): para o problema inicial
se a função
e a derivada parcial
forem contínuas numa vizinhança do ponto
, então existe uma única solução passando por
, pelo menos em algum intervalo em torno de
.
No nosso caso podemos escrever a equação na forma
com
Aqui
é contínua em qualquer região onde
(porque aparece
), e
também é contínua para
. A condição inicial tem
que pertence ao intervalo
. Portanto no intervalo
(ou em qualquer intervalo aberto que contenha
e não contenha
) as hipóteses do TEU são satisfeitas, garantindo existência e unicidade da solução que encontramos. Conclusão: a solução
é a única solução do IVP em
.
Resposta
(a) Linear de primeira ordem (resolvível por fator integrante).
(b) para
.
(c) O TEU se aplica porque e
são contínuas em
; portanto existe única solução do IVP em
.
(b)
(c) O TEU se aplica porque