Para cada problema de valor inicial abaixo:
a) Classifique a equação diferencial entre: separável, linear, exata, exata por fator integrante ou “reduzível a uma dessas categorias por mudança de variáveis”.
b) Resolva a equação diferencial e determine a solução que satisfaz a condição inicial.
c) (Quando indicado) discuta a aplicação do Teorema de Existência e Unicidade (TEU).
Exercício 7. Resolva
y^{\prime}-\frac{2}{x} y=x^{2}, \quad y(1)=1, \quad x>0 .

Passo 1

O enunciado nos dá a seguinte equação diferencial com condição inicial, válida para x>0:
y^{\prime}-\frac{2}{x}y = x^{2},\qquad y(1)=1.
O que é pedido:
(a) classificar a equação entre: separável, linear, exata, exata por fator integrante ou “reduzível a uma dessas categorias por mudança de variáveis”;
(b) resolver a equação diferencial e determinar a solução que satisfaz a condição inicial;
(c) discutir a aplicação do Teorema de Existência e Unicidade (TEU), quando for pertinente.
As informações relevantes dadas são:
  • A equação diferencial de primeira ordem y^{\prime}-\dfrac{2}{x}y = x^{2}.
  • A condição inicial y(1)=1.
  • O domínio indicado x>0 (importante porque aparecerá \ln x ao calcular integrais).

Passo 2

Classificação da equação: primeiro vamos pôr a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. A forma padrão é
y^{\prime}+p(x)y=q(x),
onde p(x) e q(x) são funções conhecidas de x. Comparando com a nossa equação obtemos:
p(x) = -\frac{2}{x},\qquad q(x)=x^{2}.
Portanto a equação é uma equação linear de primeira ordem (não homogênea). Explico brevemente por que não é das outras categorias:
  • Separável: uma equação é separável se puder ser escrita como g(y)\,dy = h(x)\,dx. Aqui a presença do termo -\dfrac{2}{x}y impede a separação simples de y e x (não se consegue isolar em produto de função só de y por função só de x). Logo não é separável.
  • Exata: para ser exata escreveríamos na forma M(x,y)+N(x,y)y' = 0 e pediríamos \partial M/\partial y=\partial N/\partial x. A equação é linear e já tem método mais direto (fator integrante), então classifica-se como linear (e, de fato, pode ser tratada por fator integrante).
    Conclusão: a equação é do tipo linear de primeira ordem e será resolvida pelo método do fator integrante.

Passo 3

Apresentando e justificando o método do fator integrante (aula rápida e prática).
Para uma equação linear de primeira ordem na forma
y^{\prime}+p(x)y=q(x),
define-se o fator integrante \mu(x) por
\mu(x)=\exp\!\Big(\int p(x)\,dx\Big).
O motivo: multiplicando a equação por \mu(x) transformamos o lado esquerdo em derivada do produto \mu(x)y, porque
\big(\mu y\big)'=\mu y'+\mu' y = \mu\big(y'+p(x)y\big)
desde que \mu'=\mu p(x), o que é exatamente satisfeito por \mu=\exp(\int p). Depois integra-se ambos os lados para obter \mu y, e então resolve-se para y.
Aplicando ao nosso caso: p(x)=-\dfrac{2}{x}. Calculamos \mu(x):
\mu(x)=\exp\!\Big(\int -\frac{2}{x}\,dx\Big)=\exp\!\big(-2\ln x\big).
Como x>0 podemos usar propriedades do logaritmo:
\exp\!\big(-2\ln x\big)=\big(\exp(\ln x)\big)^{-2}=x^{-2}.
Logo o fator integrante é \mu(x)=x^{-2}.

Passo 4

Multiplicando a equação original por \mu(x)=x^{-2} e usando a propriedade do passo anterior:
x^{-2}\big(y^{\prime}-\tfrac{2}{x}y\big)=x^{-2}\cdot x^{2}.
O lado esquerdo é a derivada do produto x^{-2}y. Escrevendo explicitamente:
\big(x^{-2}y\big)' = 1.
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
\int \big(x^{-2}y\big)'\,dx = \int 1\,dx.
A integral do lado esquerdo recupera x^{-2}y, e a do direito é x mais constante. Assim
x^{-2}y = x + C,
onde C é a constante de integração. Agora isolamos y:
y = x^{2}(x + C)=x^{3}+C x^{2}.
Essa é a solução geral da equação diferencial (no intervalo onde \mu foi calculada, isto é x>0).

Passo 5

Aplicando a condição inicial para achar a solução particular que satisfaz y(1)=1. Substituímos x=1 e y(1)=1 em
y(x)=x^{3}+C x^{2}.
Obtemos
1 = 1^{3} + C\cdot 1^{2} = 1 + C.
Logo
C = 0.
Portanto a solução que satisfaz a condição inicial é
y(x)=x^{3},\qquad x>0.

Passo 6

Verificação rápida (boa prática para prova): derivando y(x)=x^{3} temos y'(x)=3x^{2}. Substituindo na equação original:
y' - \frac{2}{x}y = 3x^{2} - \frac{2}{x}\cdot x^{3} = 3x^{2}-2x^{2}=x^{2},
que coincide com o lado direito, portanto a solução está correta.

Passo 7

Discussão do Teorema de Existência e Unicidade (TEU).
Enunciado relevante (forma útil): para o problema inicial
y'=f(x,y),\qquad y(x_{0})=y_{0},
se a função f(x,y) e a derivada parcial \partial f/\partial y forem contínuas numa vizinhança do ponto (x_{0},y_{0}), então existe uma única solução passando por (x_{0},y_{0}), pelo menos em algum intervalo em torno de x_{0}.
No nosso caso podemos escrever a equação na forma y' = f(x,y) com
f(x,y) = \frac{2}{x}y + x^{2}.
Aqui f é contínua em qualquer região onde x\neq 0 (porque aparece \tfrac{2}{x}), e \partial f/\partial y = \tfrac{2}{x} também é contínua para x\neq 0. A condição inicial tem x_{0}=1 que pertence ao intervalo x>0. Portanto no intervalo x>0 (ou em qualquer intervalo aberto que contenha 1 e não contenha 0) as hipóteses do TEU são satisfeitas, garantindo existência e unicidade da solução que encontramos. Conclusão: a solução y(x)=x^{3} é a única solução do IVP em x>0.

Resposta

(a) Linear de primeira ordem (resolvível por fator integrante).
(b) y(x)=x^{3} para x>0.
(c) O TEU se aplica porque f(x,y)=\tfrac{2}{x}y+x^{2} e \partial f/\partial y=\tfrac{2}{x} são contínuas em x>0; portanto existe única solução do IVP em x>0.

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