Para cada problema de valor inicial abaixo:
a) Classifique a equação diferencial entre: separável, linear, exata, exata por fator integrante ou “reduzível a uma dessas categorias por mudança de variáveis”.
b) Resolva a equação diferencial e determine a solução que satisfaz a condição inicial.
c) (Quando indicado) discuta a aplicação do Teorema de Existência e Unicidade (TEU).
Exercício 8. Considere
Resolva o PVI e indique claramente o intervalo de definição da solução.
a) Classifique a equação diferencial entre: separável, linear, exata, exata por fator integrante ou “reduzível a uma dessas categorias por mudança de variáveis”.
b) Resolva a equação diferencial e determine a solução que satisfaz a condição inicial.
c) (Quando indicado) discuta a aplicação do Teorema de Existência e Unicidade (TEU).
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e a condição inicial:
O que é pedido:
- Resolver o problema de valor inicial (PVI), ou seja, encontrar
que satisfaça a equação e a condição inicial. - Indicar claramente o intervalo de definição da solução (o maior intervalo que contém
onde a solução está bem definida). - (Quando indicado) discutir a aplicação do Teorema de Existência e Unicidade.
As informações relevantes dadas são exatamente a equação e a condição inicial acima.
Passo 2
Classificação da equação (explicação passo a passo):
- Primeiro, para ver a forma, dividimos por
(desde que ):
- Nesta forma, a equação está escrita como
com
e
.
- Uma equação de primeira ordem escrita assim, com
e aparecendo linearmente, é uma equação diferencial linear de primeira ordem. - Portanto a classificação é: linear de primeira ordem. (Não é separável de forma útil, nem exata; a técnica apropriada é fator integrante para equações lineares.)
Passo 3
Método do fator integrante — teoria curta e o que cada coisa significa:
- Para uma equação linear de primeira ordem
, existe um fator integrante dado por
- Esse fator tem a propriedade de transformar o lado esquerdo em uma derivada total:
. - Aqui
. Calculamos :
- Calcule a integral:
- Logo
onde usamos a propriedade
válida quando
; algebraicamente
é bem definida também para
, mas lembre que a divisão por
original exige
.
Passo 4
Multiplicando a equação original por
e escrevendo como derivada:
- Multiplica-se membro a membro:
- O lado esquerdo simplifica para a derivada de
:
- Agora integramos ambos os lados em relação a
:
Passo 5
Calcular a integral
passo a passo:
- Separe a integral:
- A primeira é direta:
- Para
usamos integração por partes. Escolha
Então
- Aplicando a fórmula
:
- E
. Portanto
- Somando as duas parcelas:
Passo 6
Retornando à expressão para
e isolando
:
- Temos
- Assim
Passo 7
Aplicar a condição inicial
para determinar
:
- Substitua
em :
- Como
, segue , logo . - Portanto a solução particular é
Passo 8
Intervalo de definição da solução e aplicação do Teorema de Existência e Unicidade (TEU):
- Ao colocar a equação na forma padrão
usamos e . Esses coeficientes são contínuos para todo tal que , isto é, para . - O Teorema de Existência e Unicidade garante que, dado o ponto inicial
, existe uma única solução que passa por em qualquer intervalo que contenha e no qual e sejam contínuas. O maior intervalo que contém e evita o ponto singular é
- Além disso a solução explícita obtida tem denominador
, portanto também é inválida em . Logo o intervalo máximo de definição da solução que contém é . - Conclusão TEU: existe e é única a solução do PVI no intervalo
(e em qualquer subintervalo contido nele).