Para cada problema de valor inicial abaixo:
a) Classifique a equação diferencial entre: separável, linear, exata, exata por fator integrante ou “reduzível a uma dessas categorias por mudança de variáveis”.
b) Resolva a equação diferencial e determine a solução que satisfaz a condição inicial.
c) (Quando indicado) discuta a aplicação do Teorema de Existência e Unicidade (TEU).
Exercício 8. Considere
(1+x) y^{\prime}+2 y=\sin x, \quad y(0)=0 .
Resolva o PVI e indique claramente o intervalo de definição da solução.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e a condição inicial:
(1+x)\,y'+2y=\sin x,\qquad y(0)=0.
O que é pedido:
  • Resolver o problema de valor inicial (PVI), ou seja, encontrar y(x) que satisfaça a equação e a condição inicial.
  • Indicar claramente o intervalo de definição da solução (o maior intervalo que contém x=0 onde a solução está bem definida).
  • (Quando indicado) discutir a aplicação do Teorema de Existência e Unicidade.
As informações relevantes dadas são exatamente a equação e a condição inicial acima.

Passo 2

Classificação da equação (explicação passo a passo):
  • Primeiro, para ver a forma, dividimos por 1+x (desde que 1+x\neq0):
y'+\frac{2}{1+x}\,y=\frac{\sin x}{1+x}.
  • Nesta forma, a equação está escrita como
y'+p(x)\,y=q(x),
com p(x)=\dfrac{2}{1+x} e q(x)=\dfrac{\sin x}{1+x}.
  • Uma equação de primeira ordem escrita assim, com y' e y aparecendo linearmente, é uma equação diferencial linear de primeira ordem.
  • Portanto a classificação é: linear de primeira ordem. (Não é separável de forma útil, nem exata; a técnica apropriada é fator integrante para equações lineares.)

Passo 3

Método do fator integrante — teoria curta e o que cada coisa significa:
  • Para uma equação linear de primeira ordem y'+p(x)y=q(x), existe um fator integrante \mu(x) dado por
\mu(x)=\exp\!\Big(\int p(x)\,dx\Big).
  • Esse fator tem a propriedade de transformar o lado esquerdo em uma derivada total: \dfrac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big)=\mu(x)q(x).
  • Aqui p(x)=\dfrac{2}{1+x}. Calculamos \mu(x):
\mu(x)=\exp\!\Big(\int \frac{2}{1+x}\,dx\Big).
  • Calcule a integral:
\int \frac{2}{1+x}\,dx = 2\int \frac{1}{1+x}\,dx = 2\ln(1+x).
  • Logo
\mu(x)=\exp\!\big(2\ln(1+x)\big)=(1+x)^2,
onde usamos a propriedade \exp(\ln a^2)=a^2 válida quando 1+x>0; algebraicamente (1+x)^2 é bem definida também para 1+x<0, mas lembre que a divisão por 1+x original exige 1+x\neq0.

Passo 4

Multiplicando a equação original por \mu(x)=(1+x)^2 e escrevendo como derivada:
  • Multiplica-se membro a membro:
(1+x)^2\Big(y'+\frac{2}{1+x}y\Big)=(1+x)^2\cdot\frac{\sin x}{1+x}.
  • O lado esquerdo simplifica para a derivada de (1+x)^2 y:
\frac{d}{dx}\big((1+x)^2 y\big)=(1+x)\sin x.
  • Agora integramos ambos os lados em relação a x:
(1+x)^2 y=\int (1+x)\sin x\,dx + C.

Passo 5

Calcular a integral \displaystyle\int (1+x)\sin x\,dx passo a passo:
  • Separe a integral:
\int (1+x)\sin x\,dx = \int \sin x\,dx + \int x\sin x\,dx.
  • A primeira é direta:
\int \sin x\,dx = -\cos x.
  • Para \displaystyle\int x\sin x\,dx usamos integração por partes. Escolha
u=x,\qquad dv=\sin x\,dx.
Então
du=dx,\qquad v=-\cos x.
  • Aplicando a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du:
\int x\sin x\,dx = x(-\cos x) - \int (-\cos x)\,dx = -x\cos x + \int \cos x\,dx.
  • E \int \cos x\,dx = \sin x. Portanto
\int x\sin x\,dx = -x\cos x + \sin x.
  • Somando as duas parcelas:
\int (1+x)\sin x\,dx = -\cos x + \big(-x\cos x + \sin x\big) = \sin x - (1+x)\cos x.

Passo 6

Retornando à expressão para (1+x)^2 y e isolando y:
  • Temos
(1+x)^2 y = \sin x - (1+x)\cos x + C.
  • Assim
y(x)=\frac{\sin x - (1+x)\cos x + C}{(1+x)^2}.

Passo 7

Aplicar a condição inicial y(0)=0 para determinar C:
  • Substitua x=0 em y(x):
y(0)=\frac{\sin 0 - (1+0)\cos 0 + C}{(1+0)^2} = \frac{0 - 1\cdot 1 + C}{1} = -1 + C.
  • Como y(0)=0, segue -1+C=0, logo C=1.
  • Portanto a solução particular é
y(x)=\frac{\sin x - (1+x)\cos x + 1}{(1+x)^2}.

Passo 8

Intervalo de definição da solução e aplicação do Teorema de Existência e Unicidade (TEU):
  • Ao colocar a equação na forma padrão y'+p(x)y=q(x) usamos p(x)=\dfrac{2}{1+x} e q(x)=\dfrac{\sin x}{1+x}. Esses coeficientes são contínuos para todo x tal que 1+x\neq0, isto é, para x\neq -1.
  • O Teorema de Existência e Unicidade garante que, dado o ponto inicial x_0=0, existe uma única solução que passa por (0,0) em qualquer intervalo que contenha 0 e no qual p e q sejam contínuas. O maior intervalo que contém 0 e evita o ponto singular x=-1 é
(-1,\infty).
  • Além disso a solução explícita obtida tem denominador (1+x)^2, portanto também é inválida em x=-1. Logo o intervalo máximo de definição da solução que contém 0 é (-1,\infty).
  • Conclusão TEU: existe e é única a solução do PVI no intervalo (-1,\infty) (e em qualquer subintervalo contido nele).

Resposta

y(x)=\frac{\sin x - (1+x)\cos x + 1}{(1+x)^2}
\text{Intervalo de definição da solução: }(-1,\infty)çãçã

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