Para cada problema de valor inicial abaixo:
a) Classifique a equação diferencial entre: separável, linear, exata, exata por fator integrante ou “reduzível a uma dessas categorias por mudança de variáveis”.
b) Resolva a equação diferencial e determine a solução que satisfaz a condição inicial.
c) (Quando indicado) discuta a aplicação do Teorema de Existência e Unicidade (TEU).
Exercício 9. Estude o PVI
a) Classifique a equação diferencial entre: separável, linear, exata, exata por fator integrante ou “reduzível a uma dessas categorias por mudança de variáveis”.
b) Resolva a equação diferencial e determine a solução que satisfaz a condição inicial.
c) (Quando indicado) discuta a aplicação do Teorema de Existência e Unicidade (TEU).
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
As perguntas pedidas são:
- (a) classificar a equação diferencial entre: separável, linear, exata, exata por fator integrante ou “reduzível a uma dessas categorias por mudança de variáveis”;
- (b) resolver a equação e determinar a solução que satisfaz
; - (c) discutir (quando indicado) a aplicação do Teorema de Existência e Unicidade (TEU).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A forma diferencial é
com - A condição inicial é
, i.e. a solução procurada passa pelo ponto .
Passo 2
Primeiro vamos testar as classificações pedidas, uma a uma, mostrando como checar e o porquê de cada resposta.
- Separável?
Uma EDO é separável se pode escrever-se, isto é os lados em funções puras de e separadas. Aqui, escrevendo explicitamente
o lado direito mistura termos em
e
que não multiplicam-se numa forma
. Portanto não é separável.
-
Linear (em
)?
Uma EDO de 1ª ordem é linear se pode ser escrita como. Aqui aparece com coeficiente e o numerador tem ; há dependência não linear em (por exemplo , , e o termo que mistura e multiplicativamente). Não é da forma linear em . Sendo mais direto, a presença de e impede linearidade. -
Exata?
Uma formaé exata se existe tal que , o que exige . Calculemos:
Como
(a diferença é
), a forma NÃO é exata.
- Fator integrante que dependa só de
ou só de ?
As fórmulas usuais pedem checar seé função apenas de (então existe ) ou se é função apenas de (então existe ). Aqui
ambas dependem de
e
ao mesmo tempo; portanto NÃO há fator integrante que dependa apenas de
nem apenas de
(pelo teste padrão).
Conclusão da classificação (resumindo didaticamente): a equação NÃO é separável, NÃO é linear, NÃO é exata e não admite fator integrante dependente só de
ou só de
pelos testes padrão. Porém a equação tem uma estrutura que podemos explorar para obter uma relação implícita que caracteriza a solução (ver passo seguinte). Então, entre as etiquetas pedidas, a mais apropriada é: “não separável, não linear, não exata; porém reduzível a uma relação implícita integrável usando uma combinação conveniente de primitivas” — em outras palavras, não se encaixa nas formas básicas, mas permite integrar-se implicitamente (ver desenvolvimento).
Passo 3
Agora vamos resolver a equação passo a passo, mostrando a ideia chave e por que ela funciona — explicando cada operação como se estivéssemos na prova.
A equação dada, escrita como diferencial, é
Dividindo por
(considerando
) obtemos a forma usual
onde
.
Observação esperta (e útil): tente reconhecer termos que sejam derivadas totais de combinações simples. Note que a derivada (em relação a
) da função
é
Também a derivada de
é
. Somando essas duas derivadas obtemos
Compare com a equação rearranjada:
. Observe que a combinação anterior fornece exatamente os dois primeiros termos da soma; a diferença entre essa soma e a expressão da equação é o termo
. Reescrevendo com a observação:
A equação original é
ou seja
Isto pode ser reescrito como
Agora integramos ambos os lados em
. A integração do lado esquerdo é direta (é uma derivada total), e a do lado direito dá uma integral impropriamente explícita que contém
:
Para escrever de forma limpa e sem ambiguidade de constantes, escolhemos a constante de integração avaliando em
onde sabemos
. Colocando a integral com limite variável, obtemos uma forma equivalente, mais elegante e totalmente correta:
onde
é uma constante. Avaliando em
(usando
) dá
Logo
. Portanto obtemos a relação implícita que qualquer solução
deve satisfazer:
Verificação rápida e didática: se diferenciarmos essa identidade (usando a Regra de Leibniz para a integral dependente de parâmetro), obtemos
que é exatamente a forma que escrevemos inicialmente — portanto a identidade é equivalente à EDO original. Assim a solução do PVI está caracterizada por esta equação integral-implícita. Observação importante: essa é uma forma implícita da solução; nem sempre é possível resolver explicitamente
em termos de funções elementares, mas a relação acima define
de forma única (próximo ao ponto inicial), como veremos com TEU.
Passo 4
Agora vamos discutir o Teorema de Existência e Unicidade (TEU) para o PVI e relacioná-lo com a forma encontrada.
Escrevemos a EDO na forma explícita
O TEU clássico (para EDOs de primeira ordem) afirma: se
e
são contínuas numa vizinhança do ponto inicial
, então existe um intervalo em
contendo
no qual existe e é única a solução passando por
.
Aqui
é composta de funções polinomiais e trigonométricas (razão dessas), portanto é tão suave quanto quisermos, exceto onde o denominador
se anula. No ponto inicial
temos
. Assim existe uma vizinhança de
onde o denominador não se anula, e nessa vizinhança
e
são contínuas. Logo, pelo TEU, existe uma solução única
passando por
, pelo menos em algum intervalo aberto contendo
.
Além disso, a identidade implícita encontrada
fornece uma caracterização funcional consistente com essa unicidade: qualquer solução contínua diferenciável que satisfaça a EDO satisfará a identidade acima, e a condição inicial fixa a constante; portanto não pode haver duas soluções diferentes que satisfaçam simultaneamente o PVI no mesmo intervalo por causa da unicidade garantida pelo TEU.
Passo 5
- Em provas, ao ver uma forma
que não é exata, é boa prática procurar combinações que sejam derivadas totais conhecidas, como ou ; aqui a observação de que é a chave que leva à integral implícita. Mostrar esse reconhecimento e derivar a identidade integral dá a solução implícita sem tentar forçar fatores integradores que não existem simples. - Se o enunciado pedir a solução explícita em termos de
, é aceitável (e comum) dizer que a solução é definida implicitamente por e que essa equação determina unicamente perto de (pelo TEU). Nem sempre existe expressão fechada elementar para . - Para obter valores numéricos de
para próximos de pode-se usar métodos numéricos (por exemplo método de Euler modificado, Runge–Kutta) ou tentar desenvolvimento em série de potências se necessário.