Para cada problema de valor inicial abaixo:
a) Classifique a equação diferencial entre: separável, linear, exata, exata por fator integrante ou “reduzível a uma dessas categorias por mudança de variáveis”.
b) Resolva a equação diferencial e determine a solução que satisfaz a condição inicial.
c) (Quando indicado) discuta a aplicação do Teorema de Existência e Unicidade (TEU).
Exercício 9. Estude o PVI
(2 x y+\cos y) d x+\left(x^{2}-\sin y\right) d y=0, \quad y(1)=0

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
(2 x y+\cos y)\,d x+\left(x^{2}-\sin y\right)\,d y=0,\qquad y(1)=0.
As perguntas pedidas são:
  • (a) classificar a equação diferencial entre: separável, linear, exata, exata por fator integrante ou “reduzível a uma dessas categorias por mudança de variáveis”;
  • (b) resolver a equação e determinar a solução que satisfaz y(1)=0;
  • (c) discutir (quando indicado) a aplicação do Teorema de Existência e Unicidade (TEU).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A forma diferencial é M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com M(x,y)=2xy+\cos y,\qquad N(x,y)=x^{2}-\sin y.
  • A condição inicial é y(1)=0, i.e. a solução procurada passa pelo ponto (x,y)=(1,0).

Passo 2

Primeiro vamos testar as classificações pedidas, uma a uma, mostrando como checar e o porquê de cada resposta.
  1. Separável?
    Uma EDO é separável se pode escrever-se dy/dx = g(x)\,h(y), isto é os lados em funções puras de x e y separadas. Aqui, escrevendo explicitamente
\frac{dy}{dx}=-\frac{2xy+\cos y}{x^{2}-\sin y},
o lado direito mistura termos em x e y que não multiplicam-se numa forma g(x)h(y). Portanto não é separável.
  1. Linear (em y)?
    Uma EDO de 1ª ordem é linear se pode ser escrita como y'+P(x)y=Q(x). Aqui y' aparece com coeficiente x^{2}-\sin y e o numerador tem 2xy+\cos y; há dependência não linear em y (por exemplo \cos y, \sin y, e o termo 2xy que mistura x e y multiplicativamente). Não é da forma linear em y. Sendo mais direto, a presença de \cos y e \sin y impede linearidade.
  2. Exata?
    Uma forma M\,dx+N\,dy é exata se existe F(x,y) tal que dF=M\,dx+N\,dy, o que exige \partial M/\partial y=\partial N/\partial x. Calculemos:
\frac{\partial M}{\partial y}=2x-\sin y,\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=2x.
Como \partial M/\partial y\neq\partial N/\partial x (a diferença é -\sin y), a forma NÃO é exata.
  1. Fator integrante que dependa só de x ou só de y?
    As fórmulas usuais pedem checar se \dfrac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N} é função apenas de x (então existe \mu(x)) ou se \dfrac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M} é função apenas de y (então existe \mu(y)). Aqui
\frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N}=\frac{-\sin y}{x^{2}-\sin y}, \qquad \frac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M}=\frac{\sin y}{2xy+\cos y},
ambas dependem de x e y ao mesmo tempo; portanto NÃO há fator integrante que dependa apenas de x nem apenas de y (pelo teste padrão).
Conclusão da classificação (resumindo didaticamente): a equação NÃO é separável, NÃO é linear, NÃO é exata e não admite fator integrante dependente só de x ou só de y pelos testes padrão. Porém a equação tem uma estrutura que podemos explorar para obter uma relação implícita que caracteriza a solução (ver passo seguinte). Então, entre as etiquetas pedidas, a mais apropriada é: “não separável, não linear, não exata; porém reduzível a uma relação implícita integrável usando uma combinação conveniente de primitivas” — em outras palavras, não se encaixa nas formas básicas, mas permite integrar-se implicitamente (ver desenvolvimento).

Passo 3

Agora vamos resolver a equação passo a passo, mostrando a ideia chave e por que ela funciona — explicando cada operação como se estivéssemos na prova.
A equação dada, escrita como diferencial, é
(2 x y+\cos y)\,d x+\left(x^{2}-\sin y\right)\,d y=0.
Dividindo por dx (considerando y=y(x)) obtemos a forma usual
(x^{2}-\sin y)\,y' + 2xy + \cos y = 0,
onde y'=\dfrac{dy}{dx}.
Observação esperta (e útil): tente reconhecer termos que sejam derivadas totais de combinações simples. Note que a derivada (em relação a x) da função x^{2}y é
\frac{d}{dx}(x^{2}y)=2xy + x^{2}y'.
Também a derivada de \cos y é \dfrac{d}{dx}(\cos y)=-\sin y\,y'. Somando essas duas derivadas obtemos
\frac{d}{dx}(x^{2}y)+\frac{d}{dx}(\cos y) = (2xy + x^{2}y') + (-\sin y\,y') = 2xy + (x^{2}-\sin y) y'.
Compare com a equação rearranjada: (x^{2}-\sin y)y' + 2xy + \cos y = 0. Observe que a combinação anterior fornece exatamente os dois primeiros termos da soma; a diferença entre essa soma e a expressão da equação é o termo \cos y. Reescrevendo com a observação:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}y + \cos y\bigr) = 2xy + (x^{2}-\sin y)y'.
A equação original é
(x^{2}-\sin y)y' + 2xy + \cos y = 0,
ou seja
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}y + \cos y\bigr) + \cos y = 0.
Isto pode ser reescrito como
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}y + \cos y\bigr) = -\cos y.
Agora integramos ambos os lados em x. A integração do lado esquerdo é direta (é uma derivada total), e a do lado direito dá uma integral impropriamente explícita que contém y(x):
x^{2}y(x) + \cos y(x) = -\int \cos\bigl(y(x)\bigr)\,dx + C.
Para escrever de forma limpa e sem ambiguidade de constantes, escolhemos a constante de integração avaliando em x=1 onde sabemos y(1)=0. Colocando a integral com limite variável, obtemos uma forma equivalente, mais elegante e totalmente correta:
x^{2}y(x) + \cos y(x) + \int_{1}^{x} \cos\bigl(y(t)\bigr)\,dt = C',
onde C' é uma constante. Avaliando em x=1 (usando y(1)=0) dá
1^{2}\cdot y(1) + \cos(y(1)) + \int_{1}^{1}\cos(y(t))\,dt = 0 + \cos 0 + 0 = 1.
Logo C'=1. Portanto obtemos a relação implícita que qualquer solução y(x) deve satisfazer:
\boxed{\,x^{2}y(x) + \cos y(x) + \displaystyle\int_{1}^{x} \cos\bigl(y(t)\bigr)\,dt = 1\,.}
Verificação rápida e didática: se diferenciarmos essa identidade (usando a Regra de Leibniz para a integral dependente de parâmetro), obtemos
2xy + (x^{2}-\sin y)y' + \cos y = 0,
que é exatamente a forma que escrevemos inicialmente — portanto a identidade é equivalente à EDO original. Assim a solução do PVI está caracterizada por esta equação integral-implícita. Observação importante: essa é uma forma implícita da solução; nem sempre é possível resolver explicitamente y(x) em termos de funções elementares, mas a relação acima define y(x) de forma única (próximo ao ponto inicial), como veremos com TEU.

Passo 4

Agora vamos discutir o Teorema de Existência e Unicidade (TEU) para o PVI e relacioná-lo com a forma encontrada.
Escrevemos a EDO na forma explícita
y' = f(x,y),\qquad f(x,y)=-\frac{2xy+\cos y}{x^{2}-\sin y}.
O TEU clássico (para EDOs de primeira ordem) afirma: se f(x,y) e \partial f/\partial y são contínuas numa vizinhança do ponto inicial (x_{0},y_{0}), então existe um intervalo em x contendo x_{0} no qual existe e é única a solução passando por (x_{0},y_{0}).
Aqui f(x,y) é composta de funções polinomiais e trigonométricas (razão dessas), portanto é tão suave quanto quisermos, exceto onde o denominador x^{2}-\sin y se anula. No ponto inicial (1,0) temos x^{2}-\sin y = 1^{2}-0 =1\neq 0. Assim existe uma vizinhança de (1,0) onde o denominador não se anula, e nessa vizinhança f e \partial f/\partial y são contínuas. Logo, pelo TEU, existe uma solução única y(x) passando por (1,0), pelo menos em algum intervalo aberto contendo x=1.
Além disso, a identidade implícita encontrada
x^{2}y(x) + \cos y(x) + \int_{1}^{x} \cos\bigl(y(t)\bigr)\,dt = 1
fornece uma caracterização funcional consistente com essa unicidade: qualquer solução contínua diferenciável que satisfaça a EDO satisfará a identidade acima, e a condição inicial fixa a constante; portanto não pode haver duas soluções diferentes que satisfaçam simultaneamente o PVI no mesmo intervalo por causa da unicidade garantida pelo TEU.

Passo 5

  • Em provas, ao ver uma forma M\,dx+N\,dy=0 que não é exata, é boa prática procurar combinações que sejam derivadas totais conhecidas, como d(x^{2}y) ou d(\cos y); aqui a observação de que d(x^{2}y)+d(\cos y)=2xy+(x^{2}-\sin y)y' é a chave que leva à integral implícita. Mostrar esse reconhecimento e derivar a identidade integral dá a solução implícita sem tentar forçar fatores integradores que não existem simples.
  • Se o enunciado pedir a solução explícita em termos de y(x), é aceitável (e comum) dizer que a solução é definida implicitamente por x^{2}y + \cos y + \int_{1}^{x} \cos\bigl(y(t)\bigr)\,dt = 1,e que essa equação determina y(x) unicamente perto de x=1 (pelo TEU). Nem sempre existe expressão fechada elementar para y(x).
  • Para obter valores numéricos de y(x) para x próximos de 1 pode-se usar métodos numéricos (por exemplo método de Euler modificado, Runge–Kutta) ou tentar desenvolvimento em série de potências se necessário.

Resposta

x^{2}y(x) + \cos y(x) + \displaystyle\int_{1}^{x} \cos\bigl(y(t)\bigr)\,dt = 1

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