Para cada problema de valor inicial abaixo:
a) Classifique a equação diferencial entre: separável, linear, exata, exata por fator integrante ou “reduzível a uma dessas categorias por mudança de variáveis”.
b) Resolva a equação diferencial e determine a solução que satisfaz a condição inicial.
c) (Quando indicado) discuta a aplicação do Teorema de Existência e Unicidade (TEU).
Exercício 11. Analise o PVI
a) Classifique a equação diferencial entre: separável, linear, exata, exata por fator integrante ou “reduzível a uma dessas categorias por mudança de variáveis”.
b) Resolva a equação diferencial e determine a solução que satisfaz a condição inicial.
c) (Quando indicado) discuta a aplicação do Teorema de Existência e Unicidade (TEU).
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (a) classificar a equação diferencial;
- (b) resolver a equação diferencial e determinar a solução que satisfaz a condição inicial
; - (c) discutir (quando indicado) a aplicação do Teorema de Existência e Unicidade (TEU).
Informações dadas:
- A equação diferencial é
- Condição inicial:
.
Passo 2
Escrevo a equação no formulário padrão
. Aqui:
Para verificar se a equação é exata, calculo as derivadas parciais
e
.
Passo 3
Calculo as parciais:
Como
, a equação é exata em qualquer ponto onde
e
são diferenciáveis (ou seja, em todo
).
Passo 4
Para equação exata existe uma função potencial
tal que
e a solução geral implícita é
.
Integro
em relação a
(tratando
como constante):
onde
é uma função a determinar.
Passo 5
Derivo
em relação a
e confronto com
:
Mas deve valer
. Logo
Portanto a solução implícita geral é
Passo 6
Aplico a condição inicial
para determinar
:
Logo a solução implícita que satisfaz o PVI é
Passo 7
Posso buscar a forma explícita
. Multiplicando por
obtemos uma quadrática em
:
Trato como equação quadrática em
com coeficientes dependentes de
:
A fórmula de Bhaskara dá
Para
(região que contém o ponto inicial
) temos
, então
As duas raízes para
são
A condição inicial
seleciona a solução
Passo 8
Observação alternativa (curiosa e útil para prova): se isolarmos
da equação original, obtemos
Para pontos onde
pode-se cancelar e obtemos a forma simples
cuja solução geral é
. Isso coincide com as soluções encontradas acima (para escolhas adequadas de
). O cancelamento exige
— no ponto inicial
tem-se
, então o cancelamento é válido num entorno do ponto inicial.
Passo 9
Aplicação do TEU (Existência e Unicidade):
- Reescrevendo a equação em forma normal
com
essa função
está bem definida e contínua em pontos onde o denominador
não é zero. No ponto inicial
o denominador é
, logo
é contínua em alguma vizinhança de
.
- A derivada parcial
também é contínua nessa vizinhança (ou, depois do cancelamento válido localmente, , que é contínua para ). Portanto as hipóteses do TEU são satisfeitas em algum retângulo contendo .
Conclusão do TEU: existe uma única solução do PVI que passa por
, ao menos numa vizinhança de
. Além disso, como a solução explicitamente obtida é
, ela está definida e é única em todo o intervalo
(o único problema é
, onde a expressão e a formula para
se tornam singulares). Portanto a solução única maximal que contém
é definida em
.
Resposta
(a) A equação é exata.
(b) Solução implícita que satisfaz :
. Solução explícita (no intervalo que contém
, i.e.
):
.
(c) Pelo TEU, como e
são contínuas numa vizinhança de
, existe e é única uma solução passando por
; a solução maximal contendo
é
em
.
(b) Solução implícita que satisfaz
(c) Pelo TEU, como