Em cada um dos Problemas 10 a 13, determine uma forma adequada para Y(t) se for utilizado o método dos coeficientes indeterminados. Não calcule as constantes.
y^prime prime prime-2 y^prime prime+y^prime=t^3+2 e^t

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma forma adequada para a solução particular Y(t) da EDO y'''-2y''+y'=t^3+2e^t usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos precisar do polinômio característico da parte homogênea e das multiplicidades de raízes para ajustar a ansatz.

Passo 2

Escrevemos o polinômio característico da parte homogênea:
r^3-2r^2+r = r(r-1)^2
As raízes são r=0 (multiplicidade 1) e r=1 (multiplicidade 2).

Passo 3

Para o termo polinomial t^3, usamos uma ansatz polinomial de grau 3 multiplicada por t^s, onde s é a multiplicidade da raiz r=0 (aqui s=1). Assim:
Y1(t)=tl(A t^3 + B t^2 + C t + Dr)=A t^4 + B t^3 + C t^2 + D t

Passo 4

Para o termo exponencial 2e^t, usamos uma ansatz E e^t multiplicada por t^m, onde m é a multiplicidade da raiz r=1 (aqui m=2). Assim:
Y2(t)=E t^2 e^t

Passo 5

A solução particular geral é a soma das duas ansatz:

Resposta

Y(t)=A t^4 + B t^3 + C t^2 + D t + E t^2 e^t

Exercícios relacionados