Em cada um dos Problemas 5 e 6, encontre a solução geral da equação diferencial dada. Deixe sua resposta em função de uma ou mais integrais.
y^prime prime prime-y^prime=csc t, 0

Passo 1

O problema pede para encontrar a solução geral da EDO de 3ª ordem
Conteúdo: EDO linear de coeficientes constantes não-homogênea. Vamos precisar reduzir a ordem integrando, resolver a equação de 2ª ordem resultante e aplicar variação de parâmetros para acomodar o termo não homogêneo.

Passo 2

Integrar a equação original para reduzir a ordem
A equação dada é
y''' - y' = csc t
Integramos em relação a t:
y'' - y = integral csc t,dt = ln!l|tantfrac t2r| + C1

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada
A equação homogênea é
y'' - y = 0
A equação característica é r^2 - 1 = 0, com raízes r=pm1. Logo a solução homogênea é
yh(t) = A e^t + B e^-t

Passo 4

Encontrar uma solução particular por variação de parâmetros
Definimos f(t)=ln!l|tantfrac t2r|. As bases da homogênea são y1=e^t e y2=e^-t, com Wronskiano W(y1,y2)=-2.
Pelas fórmulas de variação de parâmetros:
u1'(t)= -y2(t),f(t)W = e^-t2,f(t),
u2'(t)= y1(t),f(t)W = -e^t2,f(t)
Integrando:
u1(t)= 12integral e^-sln!l|tantfrac s2r|,ds,
u2(t)= -12integral e^sln!l|tantfrac s2r|,ds
A solução particular é
yp(t)= u1(t)e^t + u2(t)e^-t

Passo 5

Reunir a solução geral
A solução geral da EDO original é a soma da homogênea com a particular:
y(t)= C1 e^t + C2 e^-t + 12 e^tintegral e^-sln!l|tantfrac s2r|,ds - 12 e^-tintegral e^sln!l|tantfrac s2r|,ds

Resposta

y(t)= C1 e^t + C2 e^-t + 12,e^tintegral e^-sln!l|tantfrac s2r|,ds ;- ;12,e^-tintegral e^sln!l|tantfrac s2r|,ds

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