(3,0) Seja f(x, y)=x^2 y2-2 x^2+y^36-252 y uma função de duas variáveis.
(1,5) Encontre os pontos críticos de f(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar os pontos críticos da função . Pontos críticos são onde a função não está variando em nenhuma direção, o que, na prática, significa que as derivadas parciais em relação a e são iguais a zero. Para resolver isso, vamos precisar calcular essas derivadas e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial x = partialpartial x ( x^2 y2 - 2 x^2 + y^36 - 252 y ) em relação a partial fpartial x = 2x y2 - 4x + 0 - 0 = x y - 4x . Isso significa que tratamos partial fpartial x = x(y - 4) como uma constante e derivamos em relação a .
Derivando termo a termo:
Podemos fatorar :

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial y = partialpartial y ( x^2 y2 - 2 x^2 + y^36 - 252 y ) em relação a partial fpartial y = x^22 + 3y^26 - 252 = x^22 + y^22 - 252 . Aqui, tratamos partial fpartial y = x^2 + y^2 - 252 como uma constante.
Derivando termo a termo:
Podemos simplificar:

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, os pontos críticos ocorrem onde ambas são iguais a zero. Assim, precisamos resolver o seguinte sistema de equações:
x(y - 4) = 0 x^2 + y^2 - 252 = 0
Simplificando a segunda equação:
x^2 + y^2 - 25 = 0 Rightarrow x^2 + y^2 = 25

Passo 5

Vamos resolver o sistema passo a passo. Da primeira equação 0^2 + y^2 = 25 Rightarrow y^2 = 25 Rightarrow y = pm 5 , temos duas possibilidades:
  1. x^2 + 4^2 = 25 Rightarrow x^2 + 16 = 25 Rightarrow x^2 = 9 Rightarrow x = pm 3
Vamos analisar cada caso separadamente.
Caso 1:
Substituindo na segunda equação:
Então, temos dois pontos críticos:
Caso 2:
Substituindo na segunda equação:
Então, mais dois pontos críticos:

Resposta

Os pontos críticos da função são , , e .

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