Seja
uma função de duas variáveis.
Encontre os pontos críticos de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar os pontos críticos da função
. Pontos críticos são onde a função não está variando em nenhuma direção, o que, na prática, significa que as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero. Para resolver isso, vamos precisar calcular essas derivadas e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Isso significa que tratamos
como uma constante e derivamos em relação a
.
Derivando termo a termo:
Podemos fatorar
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Aqui, tratamos
como uma constante.
Derivando termo a termo:
Podemos simplificar:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais, os pontos críticos ocorrem onde ambas são iguais a zero. Assim, precisamos resolver o seguinte sistema de equações:
Simplificando a segunda equação:
Passo 5
Vamos resolver o sistema passo a passo. Da primeira equação
, temos duas possibilidades:
-
-
⇒
Vamos analisar cada caso separadamente.
Caso 1:
Substituindo
na segunda equação:
Então, temos dois pontos críticos:
Caso 2:
Substituindo
na segunda equação:
Então, mais dois pontos críticos:
Resposta
Os pontos críticos da função
são
,
,
e
.