Seja a superfície e a reta normal a passando pelo ponto .
A reta intercepta a superfície em algum outro ponto ? Se sim, encontre .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma superfície definida por , um ponto específico e queremos encontrar se a reta normal à superfície nesse ponto intercepta a superfície novamente em outro ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente como encontrar a reta normal a uma superfície em um ponto dado.
Passo 2
Para encontrar a reta normal à superfície no ponto , precisamos primeiro determinar o vetor normal à superfície nesse ponto. A superfície é dada por . O vetor normal pode ser encontrado calculando as derivadas parciais em relação a e .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
No ponto , substituindo e :
Então, o vetor normal é . O último componente vem da consideração que a derivada de em relação a é 1.
Passo 4
Com o vetor normal x = 1 - 2t y = -1 + 2t z = 1 + t e o ponto , podemos escrever a equação paramétrica da reta normal :
Aqui, é o parâmetro que define cada ponto ao longo da reta.
Passo 5
Agora, precisamos verificar se essa reta 1 + t = 3 - (1 - 2t)^2 - (-1 + 2t)^2 intercepta a superfície em algum ponto além de . Para isso, substituímos as equações paramétricas de na equação da superfície :
Vamos resolver essa equação para encontrar os possíveis valores de .
Passo 6
Expandindo os quadrados na equação:
1 + t = 3 - (1 - 4t + 4t^2) - (1 - 4t + 4t^2)
Simplificando:
1 + t = 3 - (2 - 8t + 8t^2)
1 + t = 3 - 2 + 8t - 8t^2
1 + t = 1 + 8t - 8t^2
Subtraindo 0 = 7t - 8t^2 de ambos os lados:
8t^2 - 7t = 0
t(8t - 7) = 0
Fatorando:
Então, ou .
Passo 7
O valor x = 1 - 2(78) = 1 - 148 = 1 - 74 = -34 corresponde ao ponto y = -1 + 2(78) = -1 + 148 = -1 + 74 = 34 . Queremos o outro ponto de interseção, portanto consideramos z = 1 + 78 = 158 .
Substituindo nas equações paramétricas de :
Resposta
Sim, a reta intercepta a superfície novamente no ponto .