Em cada um dos Problemas de 7 a 10:
(a) Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
x=(ll-52 & 32 -32 & 12) x, x(0)=binom3-1

Passo 1

O enunciado é um sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem com coeficientes constantes:
Queremos resolver
x'(t)=A,x(t),
com
A=-tfrac52 & tfrac32[6pt]-tfrac32 & tfrac12, x(0)=3-1
O conteúdo é solução de sistemas lineares por diagonalização: vamos precisar encontrar valores próprios, vetores próprios, escrever a solução geral e ajustar à condição inicial.

Passo 2

Para achar os valores próprios, montamos o polinômio característico
det(A-lambda I)= det-tfrac52-lambda & tfrac32[4pt]-tfrac32 & tfrac12-lambda=0
Expansão dá
(-2.5-lambda)(0.5-lambda)-l(1.5r)(-1.5)= -lambda^2+2lambda+1=0,
ou seja
lambda^2-2lambda-1=0
cuja solução é
lambda1=1+raiz2, lambda2=1-raiz2

Passo 3

Agora achamos os vetores próprios. Para lambda1=1+raiz2 solucionamos (A-lambda1 I)v=0. Uma escolha conveniente é
v1=37+2raiz2
Para lambda2=1-raiz2 obtemos análogamente
v2=37-2raiz2

Passo 4

A solução geral do sistema é combinação linear das exponenciais associadas aos pares (lambdai,vi):
x(t)=c1e^(1+raiz2)tv1+c2e^(1-raiz2)tv2

Passo 5

Usamos a condição inicial x(0)=(3,,-1)^T. Isso dá o sistema
3=3(c1+c2), -1=(7+2raiz2)c1+(7-2raiz2)c2
Da primeira equação vem c1+c2=1. Substituindo na segunda:
7+2raiz2(c1-c2)=-1 Rightarrow c1-c2=-2raiz2
Resolvendo o sistema para c1 e c2 obtemos
c1=tfrac1-2raiz22, c2=tfrac1+2raiz22

Resposta

x(t)=1-2raiz22,e^(1+raiz2)t37+2raiz2 +1+2raiz22,e^(1-raiz2)t37-2raiz2

Exercícios relacionados