Use o Teste da Comparação Direta para mostrar que a primeira série converge, comparando-a com a segunda série.
sumn=2^infty nn^3+5 sumn=2^infty 1n^2

Passo 1

A questão pede para testar a convergência da série sumn=2^inftynn^3+5 usando o Teste da Comparação Direta, comparando-a com a série p: sumn=2^infty1n^2. O conteúdo envolve séries infinitas e o teste de comparação, e precisamos usar o fato de que a p-série com p=2 é convergente.

Passo 2

Para aplicar o teste, note que para todo n>=2 temos n^3+5>= n^3, portanto
nn^3+5<=nn^3=1n^2

Passo 3

Sabendo que sumn=2^infty1n^2 é uma p-série com p=2>1, concluímos que ela converge.

Passo 4

Pelo Teste da Comparação Direta, se 0<= an<= bn a partir de um certo índice e sum bn converge, então sum an também converge. Aqui an=nn^3+5 e bn=1n^2, logo a série dada converge.

Resposta

A série sumn=2^inftynn^3+5 converge por comparação direta com a p-série convergente sum1/n^2.

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