Em cada um dos problemas de 7 a 10:
(a) Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
(b) Desenhe a trajetória da solução no plano x1 x2 e desenhe, também, o gráfico de x1 em função de t.
lll 7 & x^prime=(ll 1 & -4 4 & -7 ) x, & x(0)=binom32

Passo 1

Neste problema, temos o sistema linear de EDO x' = Ax com
A=1 & -44 & -7 e condição inicial x(0)=(3,2)^T. Vamos usar teoria de autovalores e autovetores (bloco de Jordan) para obter a solução.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
chi(lambda)=det(A-lambda I)=1-lambda & -44 & -7-lambda= (1-lambda)(-7-lambda)+16=lambda^2+6lambda+9
As raízes são lambda=-3 (multiplicidade 2).

Passo 3

Obtemos o autovetor v associado a lambda=-3 resolvendo
(A+3I)v=0implies 4 & -44 & -4v1v2=0
que dá v1=v2. Tomamos v=(1,1)^T.

Passo 4

Como só há um autovetor, buscamos um vetor generalizado w tal que
(A+3I)w=v
Da equação 4w1-4w2=1 escolhemos w=(1/4,0)^T.

Passo 5

A solução geral para um bloco de ordem 2 é
x(t)=C1 ve^-3t+C2(vt+w)e^-3t

Passo 6

Aplicando a condição inicial x(0)=C1v+C2w=(3,2)^T, obtemos
time as equações
C1+tfracC24=3, C1=2
Logo C1=2 e C2=4. Portanto
$$
\mathbf{x}(t)=\bigl(2v+4(vt+w)\bigr)e{-3t}=(3+4t,,2+4t)Te^{-3t}.
$$

Passo 7

A trajetória no plano x1x2 é o conjunto de pontos
(x1(t),x2(t))=((3+4t)e^-3t,(2+4t)e^-3t),
que converge à origem e se alinha com a reta x2=x1 (direção do autovetor) quando ttoinfty.

Passo 8

O gráfico de x1(t)=(3+4t)e^-3t inicia em x1(0)=3 e decai para zero de forma exponencial modulada pelo termo 4t.

Resposta

x(t)=(3+4t)e^-3t(2+4t)e^-3t

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