Em cada um dos problemas de 7 a 10:
(a) Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
(b) Desenhe a trajetória da solução no plano e desenhe, também, o gráfico de em função de .
Passo 1
Neste problema, temos o sistema linear de EDO com e condição inicial . Vamos usar teoria de autovalores e autovetores (bloco de Jordan) para obter a solução.
Passo 2
Calculamos o polinômio característico de :
As raízes são lambda=-3 (multiplicidade 2).
Passo 3
Obtemos o autovetor v associado a lambda=-3 resolvendo
(A+3I)v=0implies 4 & -44 & -4v1v2=0
que dá v1=v2. Tomamos v=(1,1)^T.
Passo 4
Como só há um autovetor, buscamos um vetor generalizado w tal que
(A+3I)w=v
Da equação 4w1-4w2=1 escolhemos w=(1/4,0)^T.
Passo 5
A solução geral para um bloco de ordem 2 é
x(t)=C1 ve^-3t+C2(vt+w)e^-3t
Passo 6
Aplicando a condição inicial x(0)=C1v+C2w=(3,2)^T, obtemos
time as equações