Nos Problemas 5 e 6, encontre a solução geral do sistema de equações dado.
Passo 1
A questão pede para achar a solução geral do sistema linear de EDOs
x'=Ax onde
Isso cai em teoria de autovalores e autovetores de matrizes constantes, e vamos precisar montar a forma de Jordan ou usar vetores generalizados.
Passo 2
Primeiro calculo o polinômio característico de
A :
As raízes são
lambda1=-1 e
lambda2=2 (com multiplicidade algébrica 2).
Passo 3
Para
lambda1=-1 resolvo
(A+I)v=0 . Isso dá o autovetor, por exemplo,
pois satisfaz
(A+I)v1=0 .
Passo 4
Para
lambda2=2 resolvo
(A-2I)v=0 e encontro apenas um autovetor independente,
ou seja, a multiplicidade geométrica é 1, então precisamos de um vetor generalizado.
Passo 5
Busco o vetor generalizado
w resolvendo
Escolhendo parâmetros convenientemente, uma solução é
Passo 6
Com autovetor e vetor generalizado para
lambda=2 , montamos a solução geral:
Substituindo
v1,v2,w temos a forma final.