Nos Problemas 5 e 6, encontre a solução geral do sistema de equações dado.
5 x^prime=(rrr 1 & 1 & 1 2 & 1 & -1 0 & -1 & 1 ) x

Passo 1

A questão pede para achar a solução geral do sistema linear de EDOs x'=Ax onde
A=1&1&12&1&-10&-1&1
Isso cai em teoria de autovalores e autovetores de matrizes constantes, e vamos precisar montar a forma de Jordan ou usar vetores generalizados.

Passo 2

Primeiro calculo o polinômio característico de A:
det(A-lambda I)=lambda^3-3lambda^2+4=0
As raízes são lambda1=-1 e lambda2=2 (com multiplicidade algébrica 2).

Passo 3

Para lambda1=-1 resolvo (A+I)v=0. Isso dá o autovetor, por exemplo,
v1=-342
pois satisfaz (A+I)v1=0.

Passo 4

Para lambda2=2 resolvo (A-2I)v=0 e encontro apenas um autovetor independente,
v2=0-11,
ou seja, a multiplicidade geométrica é 1, então precisamos de um vetor generalizado.

Passo 5

Busco o vetor generalizado w resolvendo
(A-2I)w=v2
Escolhendo parâmetros convenientemente, uma solução é
w=-10-1

Passo 6

Com autovetor e vetor generalizado para lambda=2, montamos a solução geral:
x(t)=C1e^-tv1+e^2tl(C2v2+C3(tv2+w)r)
Substituindo v1,v2,w temos a forma final.

Resposta

x(t)=C1e^-t-342+C2e^2t0-11+C3e^2tl(t0-11+-10-1r)

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