Nos Problemas 5 e 6, encontre a solução geral do sistema de equações dado.
6 x^prime=(lll 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 ) x

Passo 1

Temos o sistema de equações diferenciais de coeficientes constantes x' = Ax, onde
A = 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0
O conteúdo aqui é resolver sistemas lineares usando autovalores e autovetores.

Passo 2

Para achar os autovalores de A, montamos o polinômio característico
det(A - lambda I) = det -lambda & 1 & 1 1 & -lambda & 1 1 & 1 & -lambda = -lambda^3 + 3lambda + 2
Fatorando lambda^3 - 3lambda - 2 = (lambda - 2)(lambda + 1)^2, obtemos os autovalores
lambda1 = 2 e lambda2,3 = -1 (multiplicidade 2).

Passo 3

Para lambda1 = 2, resolvemos
(A - 2I)v = 0 ; Longrightarrow; -2 & 1 & 1 1 & -2 & 1 1 & 1 & -2 v = 0
Isso leva ao sistema v1 = v2 = v3, então um autovetor é
v1 = 111

Passo 4

Para lambda = -1, resolvemos
(A + I)v = 0 ; Longrightarrow; 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 v = 0,
que dá a equação v1 + v2 + v3 = 0. O subespaço tem dimensão 2, e podemos escolher, por exemplo,
v2 = 1-10, v3 = 10-1

Passo 5

A solução geral é combinação linear das soluções fundamentais. Cada autovetor vi gera
vi e^lambdai t. Assim,
x(t) = C1v1 e^2t + C2v2 e^-t + C3v3 e^-t,
onde C1,C2,C3 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

A solução geral é
x(t) = C1 111 e^2t + C2 1-10 e^-t + C3 10-1 e^-t

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