Nos Problemas 5 e 6, encontre a solução geral do sistema de equações dado.
Passo 1
Temos o sistema de equações diferenciais de coeficientes constantes
x' = Ax , onde
O conteúdo aqui é resolver sistemas lineares usando autovalores e autovetores.
Passo 2
Para achar os autovalores de
A , montamos o polinômio característico
Fatorando
lambda^3 - 3lambda - 2 = (lambda - 2)(lambda + 1)^2 , obtemos os autovalores
lambda1 = 2 e
lambda2,3 = -1 (multiplicidade 2).
Passo 3
Para
lambda1 = 2 , resolvemos
Isso leva ao sistema
v1 = v2 = v3 , então um autovetor é
Passo 4
Para
lambda = -1 , resolvemos
que dá a equação
v1 + v2 + v3 = 0 . O subespaço tem dimensão 2, e podemos escolher, por exemplo,
Passo 5
A solução geral é combinação linear das soluções fundamentais. Cada autovetor
vi gera
vi e^lambdai t . Assim,
onde
C1,C2,C3 são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Resposta
A solução geral é