Reescreva a seguinte expressão como uma única integral dupla, invertendo a ordem de integração, e calcule:
I=integral0^pi^2 / 36 integral2 / pi^6 / pi cos (1 / x) d x d y+integralpi^2 / 36^pi^2 / 4 integral2 / pi^1 / raizy cos (1 / x) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de integrais duplas juntos! O enunciado pede para transformar duas integrais duplas em uma só, invertendo a ordem de integração. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais múltiplas e mudança de ordem de integração. Precisaremos entender como desenhar a região de integração no plano xy e ajustar os limites de acordo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as duas integrais que temos:
I = integral0^pi^2 / 36 integral2 / pi^6 / pi cos (1x) dx , dy + integralpi^2 / 36^pi^2 / 4 integral2 / pi^1 / raizy cos (1x) dx , dy
Aqui, a primeira integral integra x de 2/pi a 6/pi para y de 0 a pi^2/36, e a segunda integra x de 2/pi a 1/raizy para y de pi^2/36 a pi^2/4. Vamos visualizar isso no plano xy para combinar essas integrais.

Passo 3

Vamos desenhar a região de integração. No eixo x, x varia de 2/pi a 6/pi na primeira parte e de 2/pi a 1/raizy na segunda. No eixo y, y varia de 0 a pi^2/36 na primeira parte e de pi^2/36 a pi^2/4 na segunda.
Para combinar, observamos que para x entre 2/pi e 6/pi, y vai de 0 a (1/x)^2 (pois 1/raizy = x Rightarrow y = 1/x^2). Então, a região total de integração fica delimitada por:
2/pi <= x <= 6/pi e 0 <= y <= 1/x^2

Passo 4

Agora, queremos inverter a ordem de integração, ou seja, integrar primeiro em relação a y e depois em relação a x. A nova integral será:
I = integral2/pi^6/pi integral0^1/x^2 cos (1x) dy , dx
Isso simplifica a expressão, pois agora temos uma única integral dupla com os limites ajustados.

Passo 5

Vamos calcular a integral interna em relação a y primeiro. Observe que cos (1x) não depende de y, então a integração fica mais simples:
integral0^1/x^2 cos (1x) dy = cos (1x) cdot [ y ]0^1/x^2 = cos (1x) cdot 1x^2
Agora, nossa integral se reduz a:
I = integral2/pi^6/pi cos (1x)x^2 dx

Passo 6

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Seja u = 1x, então du = -1x^2 dx ou -du = 1x^2 dx. Substituindo, temos:
I = integralu(2/pi)^u(6/pi) cos(u) cdot (-du) = integral1/(6/pi)^1/(2/pi) cos(u) du = integralpi/6^pi/2 cos(u) du
Agora, integramos cos(u):
I = [ sin(u) ]pi/6^pi/2 = sin(pi2) - sin(pi6) = 1 - 12 = 12

Resposta

O valor final da integral é dfrac12.

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