Reescreva a seguinte expressão como uma única integral dupla, invertendo a ordem de integração, e calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de integrais duplas juntos! O enunciado pede para transformar duas integrais duplas em uma só, invertendo a ordem de integração. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais múltiplas e mudança de ordem de integração. Precisaremos entender como desenhar a região de integração no plano xy e ajustar os limites de acordo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as duas integrais que temos:
Aqui, a primeira integral integra
de
a
para
de
a
, e a segunda integra
de
a
para
de
a
. Vamos visualizar isso no plano xy para combinar essas integrais.
Passo 3
Vamos desenhar a região de integração. No eixo x,
varia de
a
na primeira parte e de
a
na segunda. No eixo y,
varia de
a
na primeira parte e de
a
na segunda.
Para combinar, observamos que para
entre
e
,
vai de
a
(pois
). Então, a região total de integração fica delimitada por:
Passo 4
Agora, queremos inverter a ordem de integração, ou seja, integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. A nova integral será:
Isso simplifica a expressão, pois agora temos uma única integral dupla com os limites ajustados.
Passo 5
Vamos calcular a integral interna em relação a
primeiro. Observe que
não depende de
, então a integração fica mais simples:
Agora, nossa integral se reduz a:
Passo 6
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Seja
, então
ou
. Substituindo, temos:
Agora, integramos
:
Resposta
O valor final da integral é
.