Em cada um dos Problemas 10a 12, resolva o problema de valor inicial dado. Descreva o comportamento da solução quando t infty.
11. x^prime=(ll-2 & 1 -5 & 4) x, x(0)=binom13

Passo 1

O problema é um sistema linear de EDOs com condição inicial, mais especificamente
x′=A x com
A=-2 & 1 -5 & 4
e x(0)=(1,3)ᵀ. Vamos usar teoria de sistemas lineares: achar autovalores, autovetores, escrever solução geral e impor a condição inicial.

Passo 2

Começamos encontrando os autovalores resolvendo o polinômio característico
det(A-lambda I)=(-2-lambda)(4-lambda)-1cdot(-5)=lambda^2-6lambda-3=0
As raízes são
lambda1,2=6pmraiz36+122=3pm2raiz3

Passo 3

Para cada autovalor calculamos o autovetor não nulo. Para
lambda1=3+2raiz3
resolvemos (A−λ₁I)v=0, o que leva a v₁=(1,5+2√3)ᵀ. Para
lambda2=3-2raiz3
obtém-se v₂=(1,5−2√3)ᵀ.

Passo 4

A solução geral do sistema é combinação linear dos autovetores:
x(t)=c1e^lambda1tv1+c2e^lambda2tv2

Passo 5

Impondo x(0)=(1,3)ᵀ temos
1=c1+c2, 3=(5+2raiz3)c1+(5-2raiz3)c2
Resolvendo obtemos
c1=3-raiz36, c2=3+raiz36

Passo 6

Portanto a solução do PVI é
x(t)=3-raiz36e^(3+2raiz3)t15+2raiz3 +3+raiz36e^(3-2raiz3)t15-2raiz3
Como lambda1=3+2raiz3>0 e lambda2=3-2raiz3<0, o termo com e^lambda2t decai e o com e^lambda1t cresce. Assim, para ttoinfty,
x(t)toinfty seguindo a direção do autovetor v1=(1,5+2raiz3).

Resposta

x(t)=\frac{3-\sqrt3}{6}e{(3+2\sqrt3)t}\begin{pmatrix}1\5+2\sqrt3\end{pmatrix}+\frac{3+\sqrt3}{6}e{(3-2\sqrt3)t} 15+2raiz3, e para t\to\infty a solução cresce exponencialmente no sentido do autovetor (1,5+2\sqrt3) e diverge para infinito.

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