Em cada um dos Problemas 10a 12, resolva o problema de valor inicial dado. Descreva o comportamento da solução quando
.
11.
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Passo 1
O problema é um sistema linear de EDOs com condição inicial, mais especificamente
x′=A x com
x′=A x com
e x(0)=(1,3)ᵀ. Vamos usar teoria de sistemas lineares: achar autovalores, autovetores, escrever solução geral e impor a condição inicial.
Passo 2
Começamos encontrando os autovalores resolvendo o polinômio característico
As raízes são
Passo 3
Para cada autovalor calculamos o autovetor não nulo. Para
resolvemos (A−λ₁I)v=0, o que leva a v₁=(1,5+2√3)ᵀ. Para
obtém-se v₂=(1,5−2√3)ᵀ.
Passo 4
A solução geral do sistema é combinação linear dos autovetores:
Passo 5
Impondo x(0)=(1,3)ᵀ temos
Resolvendo obtemos
Passo 6
Portanto a solução do PVI é
Como
e
, o termo com
decai e o com
cresce. Assim, para
,
seguindo a direção do autovetor
.
Resposta
x(t)=\frac{3-\sqrt3}{6}e{(3+2\sqrt3)t}\begin{pmatrix}1\5+2\sqrt3\end{pmatrix}+\frac{3+\sqrt3}{6}e{(3-2\sqrt3)t}
, e para t\to\infty a solução cresce exponencialmente no sentido do autovetor (1,5+2\sqrt3) e diverge para infinito.