Seja fuma função diferenciável de uma variável e seja
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede que, sendo f uma função diferenciável de uma variável, e definindo z=f(x²+y²), mostremos que y·zₓ–x·zᵧ=0. O conteúdo envolve derivadas parciais e aplicação da regra da cadeia.
Passo 2
Definimos a variável intermediária r=x²+y². Como z=f®, pela regra da cadeia temos que o cálculo de zₓ e zᵧ usa as derivadas de f em relação a r multiplicadas pelas derivadas de r em relação a x e y.
Passo 3
Calculamos primeiro as derivadas de r: rₓ=∂(x²+y²)/∂x=2x e rᵧ=∂(x²+y²)/∂y=2y. Logo, aplicando a regra da cadeia,
zₓ=f’®·rₓ=f’(x²+y²)·2x e zᵧ=f’®·rᵧ=f’(x²+y²)·2y.
zₓ=f’®·rₓ=f’(x²+y²)·2x e zᵧ=f’®·rᵧ=f’(x²+y²)·2y.
Passo 4
Agora formamos a combinação e simplificamos:
[
y·zₓ − x·zᵧ
= y·(2x f’(x²+y²)) − x·(2y f’(x²+y²))
= 2xy f’(x²+y²) − 2xy f’(x²+y²)
= 0
]
[
y·zₓ − x·zᵧ
= y·(2x f’(x²+y²)) − x·(2y f’(x²+y²))
= 2xy f’(x²+y²) − 2xy f’(x²+y²)
= 0
]
Resposta
0