Seja fuma função diferenciável de uma variável e seja z=f(x^2+y^2). Mostre que y zx-x zy=0.

Passo 1

O enunciado pede que, sendo f uma função diferenciável de uma variável, e definindo z=f(x²+y²), mostremos que y·zₓ–x·zᵧ=0. O conteúdo envolve derivadas parciais e aplicação da regra da cadeia.

Passo 2

Definimos a variável intermediária r=x²+y². Como z=f®, pela regra da cadeia temos que o cálculo de zₓ e zᵧ usa as derivadas de f em relação a r multiplicadas pelas derivadas de r em relação a x e y.

Passo 3

Calculamos primeiro as derivadas de r: rₓ=∂(x²+y²)/∂x=2x e rᵧ=∂(x²+y²)/∂y=2y. Logo, aplicando a regra da cadeia,
zₓ=f’®·rₓ=f’(x²+y²)·2x e zᵧ=f’®·rᵧ=f’(x²+y²)·2y.

Passo 4

Agora formamos a combinação e simplificamos:
[
y·zₓ − x·zᵧ
= y·(2x f’(x²+y²)) − x·(2y f’(x²+y²))
= 2xy f’(x²+y²) − 2xy f’(x²+y²)
= 0
]

Resposta

0

Exercícios relacionados