Em cada um dos Problemas 12 a 15, use integração por partes para encontrar a transformada de Laplace da função dada; n é um inteiro positivo e a é uma constante real.
f(t)=t e^(a t)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=t,e^a t,
usando integração por partes. O conteúdo da matéria é a definição da transformada de Laplace e a técnica de integração por partes em integrais impróprias.

Passo 2

Pela definição, a transformada de Laplace F(s) é
F(s)=Lf(t)(s) =integral0^inftyf(t),e^-s t,dt =integral0^inftyt,e^a t,e^-s t,dt =integral0^inftyt,e^-(s-a)t,dt,
válida para Re(s)>a. Vamos chamar k=s-a, com Re(k)>0.

Passo 3

Para calcular
integral0^inftyt,e^-k t,dt
usamos integração por partes, escolhendo
u = t, dv = e^-k t,dt Longrightarrow du = dt, v = -1k,e^-k t

Passo 4

Aplicando a fórmula
integral0^inftyu,dv =l[u,vr]0^infty -integral0^inftyv,du
temos
integral0^inftyt,e^-k t,dt =-tke^-k t|0^infty +1kintegral0^inftye^-k t,dt
O termo de fronteira vale zero em t=0 e em ttoinfty, e
integral0^inftye^-k t,dt =1k
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integral0^inftyt,e^-k t,dt =1kcdot1k =1k^2

Resposta

Substituindo de volta k=s-a, obtemos
Lt,e^a t(s) =1(s-a)^2, Re(s)>a

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