Verifique se as séries são convergentes ou divergentes através do Teste da Comparação no Limite.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da série
usando o Teste da Comparação no Limite. O conteúdo aqui é séries numéricas e, em particular, o Teste da Comparação no Limite, que exige escolher uma série de referência cuja convergência seja conhecida e cujo termo geral tenha comportamento assintótico semelhante ao da série dada.
Passo 2
Para encontrar o comportamento assintótico de
observe que, para
grande,
e
. Assim
Logo, escolhemos como série de comparação
que é uma série
com
e, portanto,
converge.
Passo 3
Calculamos o limite
Como
, isso vira
Portanto
.
Passo 4
Pelo Teste da Comparação no Limite, se
e
converge, então
também converge.
Resposta
A série
é convergente.