Verifique se as séries são convergentes ou divergentes através do Teste da Comparação no Limite.
sumn=1^infty n+3raizn (2 n^4+n-5)

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=1^infty n+3raizn,l(2n^4+n-5r)
usando o Teste da Comparação no Limite. O conteúdo aqui é séries numéricas e, em particular, o Teste da Comparação no Limite, que exige escolher uma série de referência cuja convergência seja conhecida e cujo termo geral tenha comportamento assintótico semelhante ao da série dada.

Passo 2

Para encontrar o comportamento assintótico de
an = n+3raizn,l(2n^4+n-5r),
observe que, para n grande, n+3sim n e 2n^4+n-5sim 2n^4. Assim
an sim nraizn,(2n^4) = 12,n^7/2
Logo, escolhemos como série de comparação
bn = 1n^7/2,
que é uma série p com p=tfrac72>1 e, portanto, sum bn converge.

Passo 3

Calculamos o limite
L = limntoinfty anbn = limntoinfty n+3raizn,(2n^4+n-5) 1n^7/2 = limntoinfty (n+3),n^7/2raizn,(2n^4+n-5)
Como raizn=n^1/2, isso vira
L = limntoinfty (n+3),n^32n^4+n-5 = limntoinfty n^4+3n^32n^4l(1+tfracn-52n^4r) = 12
Portanto 0< L<infty.

Passo 4

Pelo Teste da Comparação no Limite, se 0< L<infty e sum bn converge, então sum an também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty n+3raizn,(2n^4+n-5) é convergente.

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